(Функция. Правила и формулы дифференцирования элементарных функций. Сущность линейного программирования. Методы решения задач)

НОУ "Томский   финансово-юридический техникум"

УТВЕРЖДАЮ

Заместитель директора по УМВР

                                                                                               _____________/ /

«_____»_______________20___ г.

ЛЕКЦИИ

по математике

Для специальности   030912 «Право и организация социального обеспечения»

Разработал преподаватель                                              

Томск – 2013

 Лекция 1

Тема: «Функция. Непрерывность функции. Производная. Правила и формулы дифференцирования элементарных функций».

План лекции 1.

1.  Функция, основные свойства функции.

2.  Предел функции в точке.

3.  Приращение аргумента и функции.

4.  Понятие о непрерывности функции.

Содержание лекции.

1.  Функция, основные свойства функции.

Переменную величину «Y» называют функцией переменной величины «Х», если каждому значению «Х», взятому из области ее изменения, соответствует по определенному правилу единственное значение «Y», например:

1) Функция у = 2х² – 1, где Х – переменная, принимающая любое значение,

Y – функция.

При х =3     у = 2*3² – 1 = 17

х = 0     у = 2*0² – 1 = -1

2) f (х) = ,     f (-3) =   и т. д.

Функция считается заданной, если известна область ее определения (существования), т. е. совокупность всех действительных значений независимой значений независимой переменной (аргумента) «Х», при которых функция принимает также действительные значения.

Основные свойства функции:

1.  Область определения

2.  Множество значений

3.  Монотонность, т. е. возрастание или убывание.

а)  Функция у = f (х), называется возрастающей на некотором интервале, если для любых Х из этого интервала большему значению аргумента соответствует большее значение функции, т. е. при х₁ < х₂ имеет место неравенство f (х₁) < f (х₂), смотреть рисунок 1.1.

б)  Функция у = f(х) называется убывающей на некотором интервале, если для любых Х из этого интервала большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, т. е. при х₁ < х₂ имеет место неравенство f(х₁) > f (х₂), смотреть рис. 1.2.

4.  Четность, нечетность. а)  функция у = f(х) называется четной, если f (-х) = f (х)

б)  функция у = f(х) называется нечетной, если f(-х)= -f(х)

Примеры:

Доказать, что функция является четной (нечетной).

1. f(х) = х²-5х sinх.

Решение. Имеем f(-х) = (-х)²-5*(-х) sin(-х) = х²+5х sin(-х) = х²-5х sinх = f(х), т.е. данная функция четная

2. f(х) =

Решение. Имеем f(-х)  =  т. е. данная функция  - нечетная.

5.  Периодичность.

Функция f(х) называется периодической, если существует такое число L # 0 (называется периодом), что в каждой точке области определения функции f(х) выполняется условие f (х +L) = f(х).

Пример:

1.  Доказать, что функция f(х) = sin 3x является периодической с периодом

L = 2 π/3.

Решение. Т. к. sin (3 (х+2 π/3)) = sin (3х + 2π) = sin 3x, то период функции f(х) равен 2 π /3.

2.  Доказать, что функция у =  = является периодичной с периодом L=4 π.

Решение .Т. к.     то период функции У равен 4 π.

Основные элементарные функции подробно изучались в школе.

Это: линейная у = kx + b, степенная у = хⁿ, где n - любое действительное число, показательная у = а^х, где основание степени А - данное положительное число, а # 1, а показатель степени х - переменная величина, которая может принимать любые действительные значения, логарифмическая у = log_аx, где х > 0, а > 0, а # 1, тригонометрические у = sin x, y = cos x, y= tg x, y= ctg x.

Домашнее задание:  описать основные свойства функций у = кх+b, у = а^х,

у = log_аx.

 

 

 

2.  Предел функции в точке.

Пусть  даны две переменные величины х и у, связанные функциональной зависимостью у = f(х).

Если при х, стремящемся к a, функция f(х) стремится к b, то говорят, что предел функции f(х) в точке х = а равен b и пишут

Например: пусть дана функция f(х) = х + 2. Предположим, что х → 1. Выясним, существует ли при этом условии предел функции и найдем его значения. Имеем:  f (0,9) = 2,9; f (0,99) = 2,99; f (0,999) = 2,999; f (1,1) = 3,1; f (1,01) = 3,01; f (0,001) = 3,001. Полученные результаты показывают, что при приближении х к 1 значению функции приближаются к числу 3. Следовательно,

Существуют теоремы о пределах, которые позволяют на практике вычислить пределы проще.

Найти:

1.   

2.    

3.  Приращение аргумента и приращение функции.

Если аргумент функции у = f(х) изменяется от значения х до нового значения х_n, то разность этих значений (х_n - х) называют приращением аргумента и обозначают символом ∆х (читается «дельта икс»). Следовательно,  ∆х = х_n - х, откуда х_n  = х + ∆х. Сама функция у = f(х) при таком изменении аргумента принимает новое значение у_n = f (х +∆х) - f(х), смотреть рисунок 1.3.

Пример. Найти приращение аргумента и функции у = 2х² + 1, если аргумент