Числа, суммы, ряды, неравенства. Алгебраические уравнения. Прогрессии и последовательности

Числа, суммы, ряды, неравенства

Доказать, что , Найти сумму всех целых решений неравенства .

2) Найти член разложения , содержащий .

3) Вычислить сумму

4) Вычислить сумму

3) Найдите а) ; б) . Обдумайте, каким образом найти сумму

4) Доказать, что для всех чисел a, b, c верно неравенство .

1) Докажите, что для любых положительных чисел x, y, z  таких, что  верно неравенство  7) Для любого натурального n и любых положительных чисел  доказать что

1) Найти все значения параметра  а, при которых в интервале (8а+5; 4а) содержится хотя бы одно целое число.

3) Докажите, что для всех натуральных  верно неравенство .

2) Найти, при каких значениях параметра a числа a+3, a+4, 6-a могут быть длинами остроугольного треугольника.

2) Найти, при каких значениях параметра a числа 3a+2, 4a+2, 5a+2 могут быть длинами тупоугольного треугольника.

2) Найти, при каких значениях параметра a числа a+1, a+2, 3-a могут быть длинами остроугольного треугольника.

Исследование функций

1) Найдите область определения и область значений следующих функций:

a) ; b) ; c) , d) ,.

1) Найдите область значений функции ,

Алгебраические уравнения

Решить уравнения , ,

Значения параметра a подобрано так, что уравнение  имеет решение. Найти значение параметра и корни уравнения.

С радикалами , ,  , ,

ОДЗ и замена переменной , , , , , , ,

Сведение к системе уравнений.

,,

Однородные уравнения

,

., , , , ,

1)  Решить уравнения , ,

Прогрессии и последовательности

(НГУ)Числа ,   - последовательные члены арифметической прогрессии, их сумма равна 7. Числа, ,  являются последовательными членами некоторой геометрической прогрессии. Найдите числа ,  .

Задача 9. Пусть x₁ и x₂ – корни уравнения , а  x₃ и x₄ – корни уравнения  . Известно, что последовательность x₁, x₂, x₃, x₄ является возрастающей геометрической прогрессией. Найдите a и b.

Задача 10. Четыре числа составляют геометрическую прогрессию. Если их уменьшить соответственно на 2, 1, 7, 27, то полученные числа составят арифметическую прогрессию. Найдите эти числа.

1), Доказать, что последовательность  монотонно убывает, ограничена снизу и имеет предел, равный 1 (исходя из определения предела). Найти номер N(e), начиная с которого выполняется неравенство  для

а) ; б) . 2) Выяснить, является ли последовательность  a) ограниченной; b) монотонной c)   сходящейся? 3) Последовательность задана рекуррентным соотношением . Найти общую формулу для . Доказать, что последовательность  монотонна, ограниченна, имеет предел. Найти этот предел.

4) Используя теоремы о пределах, найти следующие пределы: а) , б) , в) .

Вариант 1. 1) Доказать, что последовательность является возрастающей, ограниченной сверху, и имеет предел, равный  (исходя из определения предела). Найти номер N(e), начиная с которого выполняется неравенство  для а) ; б) . 2) Используя теоремы о пределах числовых последовательностей, вычислить следующие пределы а) ; б)

Вариант 2. 1) Доказать, что последовательность является убывающей, ограниченной снизуу, и имеет предел, равный  (исходя из определения предела). Найти номер N(e), начиная с которого выполняется неравенство  для а) ; б) . 2) Используя теоремы о пределах числовых последовательностей, вычислить следующие пределы а) ; б)

Вариант 1. 1) Последовательность {x_n} задана рекуррентно: , . Доказать, что последовательность {x_n} монотонно возрастает, ограниченна, и имеет предел. Найти этот предел.

Вариант 2. 1) Последовательность {x_n} задана рекуррентно: , . Доказать, что последовательность {x_n} монотонно возрастает, ограниченна, и имеет предел. Найти этот предел.

Логарифмы и показательная функция

1) Определите без калькулятора какое из чисел больше:  или ;  или , или .?

3) Выясните, какое из чисел x, y больше, если:  и объяснить, почему.

3) Выясните без калькулятора, какое из чисел x, y больше, если:  и объяснить, почему.

2) Вычислить без калькулятора: , 2) Вычислить без калькулятора:

2) Вычислить без калькулятора: ,

1) Выяснить, является ли число  рациональным или нет.

3) Выяснить без калькулятора какое из чисел больше  или ,

4) Решить уравнение ,

2) Найти область определения функции .

3) Вычислить без калькулятора: a) ;b) ; c) .

d) .

4) Доказать, что .

1) Выяснить без калькулятора какое из чисел больше:  или ;

2) Найти область определения следующих функций a) , b)

3) Доказать, что при всех допустимых значениях  верны равенства