Математика \ Оптимизация и математические методы принятия решений

Аналитические методы оптимизации. Решение задачи оптимизации с ограничениями типа равенств, страница 2

Непосредственно достаточные условия к полученной матрице применить нельзя, так как не все переменные независимы. Выразив из m зависимых дифференциалов через оставшиеся n-m независимых дифференциалов, после подстановки их обратно во второй дифференциал функции Лагранжа и некоторых преобразований формируется квадратичная форма n-m переменных : и ее матрица B есть матрица, составленная из коэффициентов

Для нашего случая:

Варьирование уравнения связи:

Матрица - следовательно, в точке находится минимумом.

Ответ: Точка условной оптимизации с ограничением типа равенства , точка является минимумом, значение функции в этой точке

Задача 3. Графически и аналитически минимизировать квадратичную функцию задачи 1 при наличии ограничений типа неравенств:

Указать на чертеже и выделить в ходе аналитического решения задачи все промежуточные точки, допустимые и недопустимые. Использовать семейство линий постоянного уровня функции задачи 1. Учесть, что при решении промежуточной задачи на условный экстремум при одном ограничении типа равенства в стационарной точке совпадают касательные к линии ограничения и соответствующей линии постоянного уровня целевой функции.

Решение.

Запишем ограничения в виде :

Для решения поставленной задачи формируется функция Лагранжа от двух векторных переменных и

Векторная форма:

Условие минимизации функции при наличии ограничений в векторной форме имеет вид:

Фактически, решение задач оптимизации с ограничениями типа неравенств сводится к решению ряда задач абсолютной и условной оптимизации. Решение производится поэтапно. На первом этапе все множители Лагранжа приравниваются к нулю, это означает, что все ограничения неэффективны и решается задача абсолютной оптимизации функции. Второй этап – решается ряд задач оптимизации, когда один из множителей Лагранжа ненулевой, при этом одно из ограничений становится эффективным. Третий этап – решается ряд задач оптимизации, когда двое из множителей Лагранжа ненулевые и так далее поэтапно, пока все множители не будут отличны от нуля (задачи теряют смысл, когда n≥m). При этом на каждом этапе каждый полученный вектор проверяется ограничениями и недопустимые отбрасываются.

Этап 1. Решается задача абсолютной оптимизации функции.

Задача абсолютной оптимизации функции решалась в Задаче 1.

Стационарная точка недопустима.