Тесты для самопроверки темы: «Ряды» (Задания 1-16 с указанием правильных ответов)

Страницы работы

11 страниц (Word-файл)

Фрагмент текста работы

«Ряды»

Тесты для самопроверки

1.  Необходимый признак сходимости ряда.

Теорема  (необходимый признак сходимости).

Если ряд  сходится, то .

Следствие (достаточное условие расходимости ряда).

Если  , то ряд  расходится.

Важно!  Если  , то вывода о сходимости или расходимости ряда сделать нельзя.

Задание 1.  Среди следующих рядов

1) ;                    2) ;        3) ;

4) ;           5) ;                    6) , найдите те, для которых справедливы утверждения:

а) ;                   б) ;

в)  ряд сходится;             г)  ряд расходится.

Правильные ответы:

№ ряда

1

2

3

4

5

6

0

0

0

сходится или расходится

неизвестно

расходится

расходится

неизвестно

неизвестно

расходится

2.  Признаки сравнения.

Теорема (признак сравнения).

Пусть   и   два знакоположительных ряда таких, что . Тогда, если

1) ряд  сходится, то сходится и ряд ;  2)  ряд   расходится, то расходится и ряд .

Важно!     При решении использовать: а) ряд Дирихле , который сходится, если   и  расходится, если ;

б)   геометрическую прогрессию , которая является сходящимся рядом, если   и  расходящимся рядом, если .

Задание 2.  Найти верные оценки для :

2.1) ;          2.2) ;

2.3) ;              2.4) ;                2.5) .

Варианты ответов

1

2

3

2.1

2.2

2.3

2.4

2.5

Правильные ответы (номера):

2.1

2.2

2.3

2.4

2.5

1

2

2

3

1

Задание 3.  Используя признак сравнения, среди рядов, приведенных в задании 2, найти сходящиеся и расходящиеся.

Правильные ответы:

сходится

1,  3,  5

расходится

2,  4

Теорема (предельный признак сравнения).

Пусть   и   два знакоположительных ряда. Если существует конечный, отличный  от 0, предел  , то ряды сходятся или расходятся одновременно.

Задание 4. Используя предельный признак сравнения, исследовать на сходимость ряды с общими членами :

4.1) ;                              4.2) ;

4.3) ;                            4.4) .

Указание: Использовать для сравнения подходящий ряд Дирихле.

Правильные ответы:

С каким рядом сравнили

Сходится или расходится

4.1

сходится

4.2

расходится

4.3

расходится

4.4

сходится

Теорема (признак сравнения в эквивалентной форме).

Пусть   ряд с положительными членами и    . Тогда при  ряд   сходится, а при  ряд  расходится.

 Важно!     При решении нужно использовать таблицу эквивалентных функций:

                            

                          

               

                              если  - бесконечно малая функция.

А также тот факт, что .

Задание 5.  Используя признак сравнения в эквивалентной форме, найти  для   и  сделать вывод о  сходимости следующих рядов:

5.1) ;        5.2) ;     5.3) ;       5.4) ;               5.5) .

Варианты ответов:

1) ,  сходится;                       2) ,  сходится;

3) ,  сходится;                        4) ,  расходится;

5) ,  сходится;                       6) ,  расходится;

7) ,  расходится;                    8) ,  сходится.

Правильные ответы (номера):

5.1

5.2

5.3

5.4

5.5

6

5

8

7

4

3. Признак Даламбера.

Теорема (признак Даламбера).

Пусть   ряд с положительными членами и  существует   . Тогда ряд сходится при    и расходится при  .

Важно!     Если , то вывода о сходимости ряда сделать нельзя.

Задание 6.  Найти , если

6.1) ;                       6.2) ;

6.3) ;         6.4) ;

6.5) ;                        6.6) .

Варианты ответов

6.1

6.2

6.3

6.4

6.5

6.6

Правильные ответы (номера):

6.1

6.2

6.3

6.4

6.5

6.6

2

1

3

1

2

3

Задание 7.  Исследовать сходимость рядов из задания 6, вычисляя  и применяя признак Даламбера.

Варианты ответов:

7.1) ,  сходится;                       7.2) ,  расходится;       

7.3) ,  сходится;                       7.4) ,  расходится; 

7.5) ,  сходится;                       7.6) ,  вывод сделать нельзя;

7.7) ,  расходится;                       7.8) ,  сходится.

Правильные ответы (номера):

7.1

7.2

7.3

7.4

7.5

7.6

3

5

6

2

1

7

4.  Радикальный признак Коши.

Теорема (признак Коши).

Пусть   ряд с положительными членами и  существует   . Тогда ряд сходится при    и расходится при  .

Важно!     Если , то вывода о сходимости ряда сделать нельзя.

Важно!   и  .

Задание 8.   Вычислить   и, используя признак Коши, исследовать сходимость следующих рядов:

8.1) ;                    8.2) ;

8.3) ;             8.4) ;         8.5) .

Варианты ответов:

8.1) ,  сходится;                          8.2) ,  расходится;

8.3) ,  сходится;       8.4) ,  сходится;    8.5) ,  сходится;

8.6) ,  расходится;                    8.7) ,  сходится.

Правильные ответы (номера):

8.1

8.2

8.3

8.4

8.5

6

4

3

2

1

5.  Интегральный признак Коши.

Теорема (интегральный признак Коши).

Если члены знакоположительного ряда    могут быть представлены как числовые значения некоторой монотонно-убывающей на     функции   так, что , , то:

1) если    сходится, то сходится и ряд ,

2)  если    расходится, то расходится и ряд .

Задание  9.  Применить интегральный признак для исследования сходимости рядов:

9.1) ;                                     9.2) ;

9.3) ;                                          9.4) .

Указать вид первообразной  для   и  .

Варианты ответов

1) ,   расходится;

2) ,    сходится;

3) ,    сходится;

4) ,    сходится.

Правильные ответы (номера):

9.1

9.2

9.3

9.4

2

4

1

3

6.  Знакочередующие ряды. Признак Лейбница. Знакопеременные ряды.

Теорема (признак Лейбница).

Знакочередующийся  ряд   сходится, если:

1) последовательность абсолютных величин членов ряда монотонно убывает, т.е.    ;

2)  общий член ряда стремится к нулю:  .

При этом сумма S ряда удовлетворяет неравенству:  .

Важно!  Если , то погрешность при этом меньше, чем .

Если члены ряда  принимают положительные и отрицательные значения, то он называется знакопеременным.

Определение. Знакопеременный ряд  называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд , составленный из модулей его членов и условно сходящимся, если сам он сходится, а ряд, составленный из модулей его членов, расходится.

Важно!  Для исследования абсолютной сходимости к рядам  можно применять все признаки сходимости знакоположительных рядов.

Важно!  Признак  Лейбница - это признак условной сходимости рядов.

Задание 10.  Даны ряды:

10.1) ;                10.2) ;               10.3) ;

10.4) ;                10.5) ;            10.6) ;

10.7) ;           10.8) .

Выберите из них те, которые удовлетворяют условиям:

а)  знакочередующиеся;

б) знакопеременные;

в)  знакоположительные.

Правильные ответы (номера):

а

б

в

1, 3, 7

2, 6, 8

4, 5

Задание 11. Для знакочередующихся рядов из задания 10 проверить выполнены ли условия признака Лейбница.

Правильные ответы:

1)  да;                               3)  да;                             7)  нет.

Задание 12.  Из знакочередующихся и знакопеременных рядов задания 10 найти:

а)  абсолютно сходящиеся;

б)  условно сходящиеся;

в)  расходящиеся.

Правильные ответы:

а)  абсолютно сходятся:  10.1;   10.2;   10.6;

б)  условно сходятся:  10.3;

в)  расходятся: 10.7;  10.8.

Задание 13.  Вычислить сумму  S ряда   с точностью:

1)  0,15;                           2)  0,02;                         3)  0,01.

Сколько n  членов ряда при этом надо взять?

Варианты ответов:

1) ;        2) ;        3) .

Правильные ответы (номера):

13.1

13.2

13.3

3

1

2

7.  Степенные ряды.

Степенным рядом называется ряд вида

                                     (1)

или вида

,     (2)

где  - постоянное число.

Теорема Абеля. Если степенной ряд (1) сходится при , то он абсолютно сходится при всех  х : . Если ряд (1) расходится при , то он расходится при всех   х : .

Из теоремы Абеля вытекает, что степенной ряд (1) сходится в интервале (-R, R)  и  расходится вне этого интервала. Число R  называется радиусом сходимости. При R = 0 ряд  (1)  сходится в единственной точке х = 0,  при   ряд (1) сходится при . На концах интервала сходимости, т.е. при    вопрос о сходимости решается для каждого ряда отдельно.

Для ряда (2)  интервал сходимости имеет вид:  . Если  , то ряд (2) сходится в точке .

Формулы для нахождения  радиуса сходимости имеют вид:

.

Задание 14.  Даны степенные ряды:

14.1) ;               14.2) ;            14.3) ;

14.4) ;                 14.5) ;            14.6) .

Найти: а)  радиус сходимости;   б) интервал сходимости;   в) область сходимости.

Варианты ответов:

а)  радиус сходимости:

1) ;       2) ;     3) ;    4) ;     5) ;     6) .

б)  интервал сходимости:

1) ;               2) ;              3)  точка  ;             4) ;  5) ;               6) ;               7) .

в) область сходимости:

1) ;               2) ;             3) ;      4) ;      5) ;

6) ;             7) ;        8) ;           9)  точка  .

Правильные ответы (номера):

14.1

14.2

14.3

14.4

14.5

14.6

а

4

2

6

1

6

3

б

7

1

5

3

6

4

в

1

5

8

9

3

7

8. Применение степенных рядов.

Запишите разложения в ряд Тейлора некоторых элементарных функций: .

Задание 15.  Зная разложение в степенной ряд элементарных функций, разложить в ряд Маклорена следующие функции:

15.1) ;                     15.2) ;

15.3) ;                   15.4) .

Варианты ответов:

1)  ;               2)  ;

3)  ;            4)  .

Правильные ответы (номера):

15.1

15.2

15.3

15.4

3

1

2

4

Задание 16.  Найти разложение в ряд первообразных   функций  из задания 15, проинтегрировав соответствующие степенные ряды их в пределах от 0 до х.

Варианты ответов:

16.1) ;

16.2)  ;

16.3)  ;                 

16.4)  .

Правильные ответы (номера):

16.1

16.2

16.3

16.4

2

4

3

1

Для того, чтобы найти сумму ряда с заданной степенью точности

Похожие материалы

Информация о работе

Тип:
Тестовые вопросы и задания
Размер файла:
532 Kb
Скачали:
0