Математика \ Высшая математика

Тесты для самопроверки темы: «Ряды» (Задания 1-16 с указанием правильных ответов)

Страницы работы

11 страниц (Word-файл)

Скачать файл

Фрагмент текста работы

«Ряды»

Тесты для самопроверки

1. Необходимый признак сходимости ряда.

Теорема (необходимый признак сходимости).

Если ряд сходится, то .

Следствие (достаточное условие расходимости ряда).

Если , то ряд расходится.

Важно! Если , то вывода о сходимости или расходимости ряда сделать нельзя.

Задание 1. Среди следующих рядов

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) , найдите те, для которых справедливы утверждения:

а) ; б) ;

в) ряд сходится; г) ряд расходится.

Правильные ответы:

№ ряда	1	2	3	4	5	6
	0			0	0
сходится или расходится	неизвестно	расходится	расходится	неизвестно	неизвестно	расходится

2. Признаки сравнения.

Теорема (признак сравнения).

Пусть и два знакоположительных ряда таких, что . Тогда, если

1) ряд сходится, то сходится и ряд ; 2) ряд расходится, то расходится и ряд .

Важно! При решении использовать: а) ряд Дирихле , который сходится, если и расходится, если ;

б) геометрическую прогрессию , которая является сходящимся рядом, если и расходящимся рядом, если .

Задание 2. Найти верные оценки для :

2.1) ; 2.2) ;

2.3) ; 2.4) ; 2.5) .

Варианты ответов

	1	2	3
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5

Правильные ответы (номера):

2.1	2.2	2.3	2.4	2.5
1	2	2	3	1

Задание 3. Используя признак сравнения, среди рядов, приведенных в задании 2, найти сходящиеся и расходящиеся.

Правильные ответы:

сходится	1, 3, 5
расходится	2, 4

Теорема (предельный признак сравнения).

Пусть и два знакоположительных ряда. Если существует конечный, отличный от 0, предел , то ряды сходятся или расходятся одновременно.

Задание 4. Используя предельный признак сравнения, исследовать на сходимость ряды с общими членами :

4.1) ; 4.2) ;

4.3) ; 4.4) .

Указание: Использовать для сравнения подходящий ряд Дирихле.

Правильные ответы:

№	С каким рядом сравнили	Сходится или расходится
4.1		сходится
4.2		расходится
4.3		расходится
4.4		сходится

Теорема (признак сравнения в эквивалентной форме).

Пусть ряд с положительными членами и . Тогда при ряд сходится, а при ряд расходится.

Важно! При решении нужно использовать таблицу эквивалентных функций:

если - бесконечно малая функция.

А также тот факт, что .

Задание 5. Используя признак сравнения в эквивалентной форме, найти для и сделать вывод о сходимости следующих рядов:

5.1) ; 5.2) ; 5.3) ; 5.4) ; 5.5) .

Варианты ответов:

1) , сходится; 2) , сходится;

3) , сходится; 4) , расходится;

5) , сходится; 6) , расходится;

7) , расходится; 8) , сходится.

Правильные ответы (номера):

5.1	5.2	5.3	5.4	5.5
6	5	8	7	4

3. Признак Даламбера.

Теорема (признак Даламбера).

Пусть ряд с положительными членами и существует . Тогда ряд сходится при и расходится при .

Важно! Если , то вывода о сходимости ряда сделать нельзя.

Задание 6. Найти , если

6.1) ; 6.2) ;

6.3) ; 6.4) ;

6.5) ; 6.6) .

Варианты ответов

6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
6.6

Правильные ответы (номера):

6.1	6.2	6.3	6.4	6.5	6.6
2	1	3	1	2	3

Задание 7. Исследовать сходимость рядов из задания 6, вычисляя и применяя признак Даламбера.

Варианты ответов:

7.1) , сходится; 7.2) , расходится;

7.3) , сходится; 7.4) , расходится;

7.5) , сходится; 7.6) , вывод сделать нельзя;

7.7) , расходится; 7.8) , сходится.

Правильные ответы (номера):

7.1	7.2	7.3	7.4	7.5	7.6
3	5	6	2	1	7

4. Радикальный признак Коши.

Теорема (признак Коши).

Пусть ряд с положительными членами и существует . Тогда ряд сходится при и расходится при .

Важно! Если , то вывода о сходимости ряда сделать нельзя.

Важно! и .

Задание 8. Вычислить и, используя признак Коши, исследовать сходимость следующих рядов:

8.1) ; 8.2) ;

8.3) ; 8.4) ; 8.5) .

Варианты ответов:

8.1) , сходится; 8.2) , расходится;

8.3) , сходится; 8.4) , сходится; 8.5) , сходится;

8.6) , расходится; 8.7) , сходится.

Правильные ответы (номера):

8.1	8.2	8.3	8.4	8.5
6	4	3	2	1

5. Интегральный признак Коши.

Теорема (интегральный признак Коши).

Если члены знакоположительного ряда могут быть представлены как числовые значения некоторой монотонно-убывающей на функции так, что , , то:

1) если сходится, то сходится и ряд ,

2) если расходится, то расходится и ряд .

Задание 9. Применить интегральный признак для исследования сходимости рядов:

9.1) ; 9.2) ;

9.3) ; 9.4) .

Указать вид первообразной для и .

Варианты ответов

1) , расходится;

2) , сходится;

3) , сходится;

4) , сходится.

Правильные ответы (номера):

9.1	9.2	9.3	9.4
2	4	1	3

6. Знакочередующие ряды. Признак Лейбница. Знакопеременные ряды.

Теорема (признак Лейбница).

Знакочередующийся ряд сходится, если:

1) последовательность абсолютных величин членов ряда монотонно убывает, т.е. ;

2) общий член ряда стремится к нулю: .

При этом сумма S ряда удовлетворяет неравенству: .

Важно! Если , то погрешность при этом меньше, чем .

Если члены ряда принимают положительные и отрицательные значения, то он называется знакопеременным.

Определение. Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд , составленный из модулей его членов и условно сходящимся, если сам он сходится, а ряд, составленный из модулей его членов, расходится.

Важно! Для исследования абсолютной сходимости к рядам можно применять все признаки сходимости знакоположительных рядов.

Важно! Признак Лейбница - это признак условной сходимости рядов.

Задание 10. Даны ряды:

10.1) ; 10.2) ; 10.3) ;

10.4) ; 10.5) ; 10.6) ;

10.7) ; 10.8) .

Выберите из них те, которые удовлетворяют условиям:

а) знакочередующиеся;

б) знакопеременные;

в) знакоположительные.

Правильные ответы (номера):

а	б	в
1, 3, 7	2, 6, 8	4, 5

Задание 11. Для знакочередующихся рядов из задания 10 проверить выполнены ли условия признака Лейбница.

Правильные ответы:

1) да; 3) да; 7) нет.

Задание 12. Из знакочередующихся и знакопеременных рядов задания 10 найти:

а) абсолютно сходящиеся;

б) условно сходящиеся;

в) расходящиеся.

Правильные ответы:

а) абсолютно сходятся: 10.1; 10.2; 10.6;

б) условно сходятся: 10.3;

в) расходятся: 10.7; 10.8.

Задание 13. Вычислить сумму S ряда с точностью:

1) 0,15; 2) 0,02; 3) 0,01.

Сколько n членов ряда при этом надо взять?

Варианты ответов:

1) ; 2) ; 3) .

Правильные ответы (номера):

13.1	13.2	13.3
3	1	2

7. Степенные ряды.

Степенным рядом называется ряд вида

(1)

или вида

, (2)

где - постоянное число.

Теорема Абеля. Если степенной ряд (1) сходится при , то он абсолютно сходится при всех х : . Если ряд (1) расходится при , то он расходится при всех х : .

Из теоремы Абеля вытекает, что степенной ряд (1) сходится в интервале (-R, R) и расходится вне этого интервала. Число R называется радиусом сходимости. При R = 0 ряд (1) сходится в единственной точке х = 0, при ряд (1) сходится при . На концах интервала сходимости, т.е. при вопрос о сходимости решается для каждого ряда отдельно.