Методика первичной обработки экспериментальных данных. Определение параметров статистического распределения и построение функции плотности распределения вероятности. Проверка гипотезы о законе распределения исследуемой случайной величины

Cодержание

Задание

Практическая работа №1 «Методика первичной обработки экспериментальных данных»

1.1 Построение вариационного статистического ряда

1.2 Построение интервального вариационного ряда

1.3Построение гистограммы

Практическая работа №2 «Определение параметров статистического распределения и построение функции плотности распределения вероятности»

2.1 Определение параметров статистического распределения

2.2Приближенная проверка нормальности распределения

2.3Построение функции плотности распределения вероятности

Практическая работа №3 «Определение доверительных интервалов параметров статистического распределения

3.1 Доверительные интервалы

3.2Определение доверительного интервала для математического ожидания случайной величины

3.3Определение доверительного интервала для неизвестной дисперсии случайной величины

Практическая работа №4 «Проверка гипотезы о законе распределения исследуемой случайной величины»

4.1 Критерий согласия Пирсона

4.2Практическое применение критерия Пирсона

Практическая работа №5 «Определение нормативных и расчетных сопротивлений материалов»

5.1 Определение нормативных сопротивлений

5.2 Определение нормативных и расчетных сопротивлений арматурной стали

Практическая работа №1

Методика первичной обработки экспериментальных данных.

1.1  Построение вариационного статистического ряда

Совокупность значений случайной величины Х представляет собой статистический ряд, имеющий вид таблицы, в которой каждому номеру опыта сопоставлено одно значение случайной величины.

Таблица № 1

№ опыта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Величина Х	26,0	24,1	22,4	25,9	24,7	30,8	24,5	19,9	24,7	31,4
№ опыта	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
Величина Х	23,4	24,2	23,9	27,8	24,7	27,9	28,4	26,7	16,0	31,8
№ опыта	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
Величина Х	26,7	24,9	22,5	28,7	25,1	17,5	22,5	23,1	27,2	23,1
№ опыта	31	32	33	34	35	36	37	38	39	40
Величина Х	27,0	33,4	25,5	27,7	21,9	25,0	23,5	23,6	20,3	23,1
№ опыта	41	42	43	44	45	46	47	48	49	50
Величина Х	23,3	23,4	22,2	24,0	24,9	25,2	22,2	29,3	21,9	20,7
№ опыта	51	52	53	54	55	56	57	58	59	60
Величина Х	20,2	25,2	27,7	26,0	26,6	29,6	17,2	23,8	28,7	27,2
№ опыта	61	62	63	64	65	66	67	68	69	70
Величина Х	31,1	26,6	16,4	22,8	17,0	18,8	24,0	25,1	18,8	17,7
№ опыта	71	72	73	74	75	76	77	78	79	80
Величина Х	25,4	28,7	20,6	22,0	23,1	31,4	33,5	31,8	30,0	22,2
№ опыта	81	82	83	84	85	86	87	88	89	90
Величина Х	22,3	27,0	26,6	26,5	23,7	28,6	32,1	22,3	17,0	19,2
№ опыта	91	92	93	94	95	96	97	98	99	100
Величина Х	31,9	17,4	36,1	24,6	35,7	20,6	18,7	23,6	20,3	19,9

При небольшом количестве значений случайной величины статистический анализ ее может быть выполнен на основе статистического ряда. При достаточно большом количестве значений случайной величины такой ряд становится неудобным для статистического анализа ввиду неупорядоченности значений случайной величины.

Более удобный для статистической обработки вид имеет так называемый вариационный статистический ряд, который является простейшей формой задания закона распределения случайной величины. Вариационный ряд представляет собой ту же самую таблицу, но значения величины X в ней упорядочены соотношением x₁ £ x₂ £ x₃ £ ….. £ x_n, то есть элементы статистической выборки (совокупности) располагаются в вариационном ряду в порядке возрастания. Это позволяет легко сгруппировать значения дискретной случайной величины, а в случае необходимости  - и непрерывной.

Основой для построения вариационного статистического ряда является выборка из 100 значений прочности бетона или стали, содержащихся в Вашем задании к практическим работам.

Таблица № 2

№ опыта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Величина Х	16,0	16,4	17,0	17,0	17,2	17,4	17,5	17,7	18,7	18,8
№ опыта	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
Величина Х	18,8	19,2	19,9	19,9	20,2	20,3	20,3	20,6	20,6	20,7
№ опыта	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
Величина Х	21,9	21,9	22,0	22,2	22,2	22,2	22,3	22,3	22,4	22,5
№ опыта	31	32	33	34	35	36	37	38	39	40
Величина Х	22,5	22,8	23,1	23,1	23,1	23,1	23,3	23,4	23,4	23,5
№ опыта	41	42	43	44	45	46	47	48	49	50
Величина Х	23,6	23,6	23,7	23,8	23,9	24,0	24,0	24,1	24,2	24,5
№ опыта	51	52	53	54	55	56	57	58	59	60
Величина Х	24,6	24,7	24,7	24,7	24,9	24,9	25,0	25,1	25,1	25,2
№ опыта	61	62	63	64	65	66	67	68	69	70
Величина Х	25,2	25,2	25,4	25,9	26,0	26,0	26,5	26,6	26,6	26,6
№ опыта	71	72	73	74	75	76	77	78	79	80
Величина Х	26,7	26,7	27,0	27,0	27,2	27,2	27,7	27,7	27,8	27,9
№ опыта	81	82	83	84	85	86	87	88	89	90
Величина Х	28,4	28,6	28,7	28,7	28,7	29,3	29,6	30,3	30,8	31,1
№ опыта	91	92	93	94	95	96	97	98	99	100
Величина Х	31,1	31,4	31,8	31,8	31,9	32,1	33,4	33,5	35,7	36,1

1.2. Построение интервального вариационного ряда

Для построения интервального вариационного ряда весь диапазон наблюдаемых значений случайной величины делится на ряд интервалов равной длины.  Для определения оптимальной длины интервала h обычно используют формулу Стерджеса:

.

           

За начало первого интервала принимают величину

а границы второго, третьего и последующих интервалов определяют по формуле a_i = a_i-1 + h, где i = 2, 3, ….. , 10. Конец последнего интервала в этом случае будет равен , а количество интервалов при таком разбиении будет равно 9.

a₂ = 14.743 + 2.513 = 17.256

a₃ = 17.256 + 2.513 = 19.769

a₄ = 19.769+ 2.513 = 22.282

a₅ = 22.282+ 2.513 = 24.795

a₆ = 24.795+ 2.513 = 27.308

a₇ = 27.308+ 2.513 = 29.821

a₈ = 29.821+ 2.513 = 32.334

a₉ = 32.334+ 2.513 = 34.847

Выборочные значения непрерывно изменяющейся в пределах интервала случайной величины заменяют дискретным значением, равным середине интервала: , (i = 1, 2, 3, ….. , 9), то есть полагают, что все попавшие в данный интервал значения непрерывной случайной величины равны R_mi.

Просчитываем число значений случайной величины, попавших в каждый интервал (частоту) n_i. Значение случайной величины, попавшее на границу интервалов, принято относить к интервалу с меньшим номером.

Затем вычисляют относительную частоту w_i по формуле , где  n_i - число выборочных значений, попавших в интервал (a_i, a_i+1) и определяют для каждого интервала отношения w_i/h, необходимые для построения гистограммы.

№ интервала	Интервал (ai, ai+1), МПа	Середина интервала Rmi, МПа	Число значений в интервале (частота) ni	Относительная частота wi	wi/h
1	14,743/17.256		5	0,05	0,0199
2	17.256/ 19.769		7	0,07	0,0279
3	19.769/22.282		14	0,14	0,0557
4	22.282/24.795		28	0,28	0,1114
5	24.795/27.308		22	0,22	0,0875
6	27.308/29.821		11	0,11	0,0438
7	29.821/32.334		9	0,09	0,0358
8	32.334/34.847		2	0,02	0,0079
9	34.847/37,357		2	0,02	0,0079

1.3. Построение гистограммы

Гистограмма строится в осях и представляет из себя ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основания которых - интервалы длины h, а высоты равны w_i/h. Таким образом, площадь каждого прямоугольника гистограммы равна относительной частоте значений случайной величины, а полная площадь всей гистограммы будет равна 1.

Гистограмма распределения прочности материала

Практическая работа № 2

Определение  параметров  статистического  распределения  и построение  функции  плотности  распределения  вероятности

2.1. Определение параметров статистического распределения

После выдвижения гипотезы о законе распределения случайной величины возникает необходимость в определении основных параметров выбранного закона распределения. Поскольку статистическое (эмпирическое) распределение случайной величины не обязательно полностью совпадает с теоретическим распределением, параметры статистического распределения носят приближенный характер и часто называются выборочными оценками параметров теоретического распределения.

Выборочное среднее, как оценку для математического ожидания