Изучение цепи переменного синусоидального тока с емкостным, индуктивным и активным сопротивлениями (Методическое пособие по выполнению лабораторной работы)

Полный анализ цепи заключается в нахождении токов, напряжений и их фаз на всех участках цепи.

Дифференциальное уравнение, описывающее колебания тока и напряжения в цепи с активным и индуктивным сопротивлением имеет вид

                                                                                          (2)

где  - полное активное сопротивление цепи, включающее активное сопротивление катушки  и ограничивающее ток сопротивление : .

Для его решения могут быть использованы различные методы: алгебраический, метод векторных диаграмм и др.

Алгебраический метод для установившихся вынужденных колебаний в цепи заключается в том, что мы ищем решение уравнения (2) в виде

,                                                                                  (3)

где  - угол сдвига между током  и приложенным напряжением . Подставляя (3) в уравнение (2) и приравнивая множители при членах с  и , получим

,                                                              (4)

,                                                                      (5)

откуда

,                                                                                                (6)

,                                                     (7)

где роль индуктивного сопротивления играет величина .

Рассмотрим метод векторных диаграмм для цепи переменного синусоидального тока с активным и индуктивным сопротивлением.

Этот метод обладает большой наглядностью. Напряжение , приложенное к цепи, одновременно существует на активном  и индуктивном  сопротивлениях

 и .                                                           (8)

Для построения результирующего напряжения  по составляющим  и , необходимо векторно сложить  и  на векторной диаграмме. Подчеркнем что  и  характеризуются величиной и фазой (углом) и поэтому могут быть представлены на плоскости в виде векторов. Для удобства будем строить диаграммы, используя действующие значения величин  и , которые в  раз меньше их амплитуд.

Действующее значение силы тока  одно и то же в сопротивлениях  и . Отложим вектор тока  на диаграмме (рис.2) в горизонтальном направлении. Так как напряжение  совпадает по фазе с током , то направление вектора  совпадает с направлением вектора тока . Напряжение на индуктивности  опережает по фазе ток через индуктивность  на угол  (см. электромагнитная индукция, правило Ленца, самоиндукция), поэтому вектор  направлен вдоль вертикальной оси вверх. Сложив векторно и , получим вектор действующего напряжения , модуль которого равен:

.                                                                      (9)

Полное сопротивление всей цепи  из (9) равно

.                                                                       (10)

По известным значениям напряжения  и полному сопротивлению  можно найти силу тока

.                                                    (11)

Из треугольника сопротивлений (рис.2) можно определить угол сдвига , совпадающий с выражением (6).

Мгновенная мощность, рассеиваемая в цепи, равна

,                                                (12)

и уже не является синусоидальной величиной (рис.3). Средняя за период активная мощность , расходуемая источником на активном сопротивлении , равна

,                                                                          (13)

где  - действующие значение напряжения в вольтах,  - действующие значение тока в амперах,  - коэффициент мощности, где угол  определяется формулой (6),  - активная мощность в ваттах.

Величина  называется кажущейся или полной мощностью. Полная мощность состоит из активной мощности  и реактивной мощности , которая определяется соотношением

.                                                                                     (14)

Между полной, активной, и реактивной мощностью существует соотношение

.                                                                                   (15)

Положительная энергия, поступающая от источника тока к катушке с активным сопротивлением, больше, чем отрицательная энергия, возвращаемая источнику тока. Разность этих энергий равна энергии, поглощаемой активным сопротивлением цепи. Площади, расположенные выше линии времени на рис.3, определяют величину положительной энергии, а расположенные ниже линии времени - величину отрицательной энергии.

Цепь переменного синусоидального тока с активным и емкостным сопротивлением.

Рассмотрим конденсатор, обладающий емкостью , последовательно соединенный с активным сопротивлением  (рис.4). Колебания частоты  возбуждаются источником переменной ЭДС .

Дифференциальное уравнение, описывающее колебания тока и напряжения в цепи с активным и емкостным сопротивлениями имеет вид

.                                                                      (16)

Алгебраический метод для установившихся вынужденных колебаний в цепи заключается в том, что мы ищем решение уравнения (16) в виде

.                                                                 (17)

Подставляя (17) в уравнение (16), получим:

,                                                                         (18)

,                                                       (19)

где  играет роль емкостного сопротивления.

Метод векторных диаграмм. Пусть в цепи катушки существует переменный синусоидальный ток

.                                                                 (20)

Напряжение , приложенное к цепи, одновременно существует на активном