Основные законы электростатики и постоянного тока: Методические указания и контрольные задания к контрольной работе № 3 по физике. Часть 3, страница 2

D₁ =e₀ e₁ E₁ =8.85*10^-12*6*45.7*10³ =2.43 мкКл/м²  ;

D₂ =e₀ e₂ E₂ =8.85*10^-12*3*68.6*10³ =1.82 мкКл/м²  .

Плотность тепловой мощности тока в каждом слое слабопроводящего диэлектрика находим из закона Джоуля-Ленца (32):

w₁ =j₁ E₁ =2.74*10^-6*45.7*10³ =125 мВт/м³  ;

w₂ =j₂ E₂ =2.74*10^-6*68.6*10³ =188 мВт/м³  .

Поскольку на границе раздела диэлектриков испытывают скачок и вектор индукции электрического поля и вектор его напряженности, на этой границе имеются и свободные и связанные заряды, поверхностные плотности которых мы обозначим s^своб и s^связ соответственно. Далее действуем аналогично примеру 4: выделим на границе раздела диэлектриков участок площадью s, окружим его замкнутой поверхностью 5-6-7-8-5 (рис. 7) и рассчитаем потоки векторов индукции D и напряженности E поля через эту поверхность. Из теоремы Гаусса в форме (22):

 ,

s^своб=D₁ -D₂ =0.606 мкКл/м².

А из теоремы Гаусса в форме (23):

 ,

s^связ = e₀ (E₁ - E₂ )-s^своб = 8.85*10^-12*(45.7-68.6)*10³ - 0.606*10^-6 = =-0.808 мкКл/м² .

И, наконец, полная плотность s зарядов на границе раздела диэлектриков:

s  = s^связ+ s^своб= -0.202 мкКл/м².

Силу тока через слабопроводящий конденсатор (так называемый ток утечки) определяем из вычисленной плотности тока по формуле (33)

I = j₁S  = j₂S  = 2.74*10^-6*2*10^-3 = 5.49 нА.

Для нахождения сопротивления конденсатора постоянному току у нас в запасе есть два подхода. Первый: интегральный закон Ома (34)

R  = U/I  = 400/(5.49*10^-9) = 72.9  ГОм  ;

второй - непосредственно из исходных данных задачи: представить слабопроводящий диэлектрик в конденсаторе как последовательное соединение сопротивлений (39), каждое из которых находится из (36)

ГОм.

Для определения мощности тока через конденсатор есть также два пути. Первый - интегрирование, в соответствии с (31), плотности тепловой мощности тока по всему объему слабопроводящего диэлектрика

W =w₁d₁S + w₂d₂S =0.125*5*10^-3*2*10^-3+0.188*2.5*10^-3*2*10^-3= = 2.19 мкВт ;

второй - использование интегрального закона Джоуля-Ленца (35)

W =IU =5.49*10^-9*400=2.19 мкВт  .

Как и в случае с вычислением полного сопротивления, оба пути, естественно, приводят к одинаковым результатам.

Пример 7. Электрическая цепь (рис. 11) состоит из гальванического элемента с ЭДС e= 9 В, конденсатора C=2000 пФ и пяти сопротивлений R₁=R₅=8 Ом, R₂=R₄=12 Ом и R₃=5 Ом. Определить силу тока I через сопротивление R₃ и заряд конденсатора q .

Решение. Введем силы токов между каждой парой смежных узлов цепи и обозначим их на чертеже (рис.12). Направления токов можно выбрать произвольные, правила Кирхгофа и законы алгебры в данном случае окажутся предусмотрительней: наши ошибки в определении этих направлений приведут к отрицательным величинам сил токов в конкретных звеньях электрической цепи. Поскольку конденсатор не пропускает постоянный ток, звено cg (рис.12) на начальном этапе решения задачи можно не рассматривать.

Применим первое правило Кирхгофа (37) для каждого из узлов цепи, предварительно договорившись писать каждую силу тока с положительным знаком, если ток вытекает из узла, и с отрицательным, если втекает в него:

для узла b :   I +I₁-I₂ =0;

для узла e :   I₆ -I₁-I₄ =0;

для узла f :   I₄ -I -I₅ =0 ;

для узла h :   I₂+I₅ -I₆ =0.

Независимых уравнений в этой системе - три. Это видно хотя бы из того, что сумма всех четырех уравнений приводит к тождеству 0=0 (кстати, неплохой способ проверки правильности записи системы уравнений), любое из них является следствием трех других, и поэтому одно из них необходимо вычеркнуть, например, последнее. Пока имеем на шесть неизвестных - три уравнения. Еще три даст второе правило Кирхгофа (38):

для контура abfea :                        -I₁R₁  + IR₃  + I₄R₄  = 0  ;

для контура bdhfb :                        -I₂R₂  + I₅R₅  - IR₃  = 0  ;