Алгебро-логические свойства R-функций. Дифференциальные свойства R-функций. Алгоритмически полные системы R-функций, страница 2

Обозначим  (результат k-кратного применения операции R-отрицания к переменной f). Воспользуемся формулой  для исключения из формулы  операции R-дизъюнкции. Ввиду того, что  имеет единственное вхождение в формулу , её можно представить в виде: , где p, q – некоторые выражения, не содержащие . Сумма . Согласно условию теоремы , откуда . Поскольку p и q получены с помощью операций R-конъюнкции, R-дизъюнкции и R-отрицания только из ненулевых аргументов , то они не равны нулю в точке x₀. Исходя из алгебро-логических свойств R-конъюнкции, в этой точке , ; точно так же , . Но в силу теоремы о производной R-конъюнкции получаем:

Для некоторых систем R-функций справедливы и более сильные теоремы.

Рассмотрим, далее, некоторые свойства, касающиеся вторых производных от R-конъюнкций и R-дизъюнкций, которые понадобятся для выяснения выпуклости и вогнутости графиков R-функций.

Лемма. Если  - однородная функция измерения 1 (т.е. ), причём  , и , где  - биекция числовой оси на положительную и отрицательную полуоси, то функция f не убывает  по каждому из аргументов.

Доказательство. Используем формулу Эйлера для однородных функций:

.

Продифференцируем это равенство по  и :

, откуда ;

, откуда ;

следовательно, . Тогда из неравенства  следует .

Из тождества , пользуясь свойствами R-конъюнкции, имеем:  при ,  или при , ;  при  и ; в остальных случаях . Тогда . Но в первом квадранте  - возрастающая функция  при фиксированном , поскольку ; следовательно,  в первом квадранте. Аналогично легко показать справедливость этого неравенства и во втором квадранте (рисунок 4).

Рисунок 4. К доказательству леммы о второй производной.

Далее, поскольку  при,  f=0, производная . Но  - убывающая функция  при фиксированном  в 4-м квадранте и возрастающая – в первом. Следовательно, в первом и четвертом квадранте справедливо неравенство: .

Точно так же, используя условия:  и , получаем, что  и  в остальных квадрантах.

Доказанная лемма служит основой для двух важных теорем.

Теорема о второй производной R-конъюнкции. Если  удовлетворяет условиям леммы, а функция , причём вторая производная  по произвольному направлению l, то .

Доказательство в предположении о выпуклости функции f можно получить, непосредственно дифференцируя  дважды по l:

;

Поскольку , , квадратичная форма со вторыми производными неположительна, из последнего равенства получается .

Условиям теоремы о второй производной удовлетворяет, в частности, -конъюнкция.

6. Чертеж и его уравнение. Классификация чертежей

Выше было на интуитивном уровне введено понятие чертежа – точечного множества, обобщающего такие понятия, как «линия», «поверхность», «тело», «гиперповерхность» и т.п. Простейшим чертежом является точка, и поэтому чертежи можно было бы рассматривать как совокупности точек, т.е. элементы множества всех подмножеств R ⁿ. Однако тогда пришлось бы считать чертежами и такие геометрические объекты, о форме которых можно говорить только весьма условно.

Будем называть чертежом множество точек в R ⁿ, координаты которых удовлетворяют уравнениям вида f(x)=0, где f –функция из достаточно общего множества. В аналитической геометрии часто рассматривают алгебраические (целые рациональные) функции; это приводит к алгебраическим чертежам. К их числу относятся алгебраические кривые и поверхности второго порядка. Для простоты будем называть уравнение чертежа непрерывным, дифференцируемым, аналитическим и т.д., если функция f является соответственно непрерывной, дифференцируемой, аналитической и т.д.

Множество алгебраических чертежей не содержит таких часто встречающихся линий и поверхностей, как квадрат, ломаная линия, усеченный конус и других объектов более сложной формы (например, материнская плата компьютера). Напротив, если потребовать только непрерывности уравнения, то класс чертежей получается излишне широким. В этом случае уравнению f(x)=0 соответствует замкнутое множество точек в Rⁿ, и обратно: всякому замкнутому точечному множеству L соответствует (не единственное) непрерывное уравнение, одно из которых – уравнение . Это уравнение называется нормальным уравнением чертежа L.