Модели погрешностей абсолютного и относительного счисления. Доверительные интервалы

Глава 5

МОДЕЛИ ПОГРЕШНОСТЕЙ АБСОЛЮТНОГО И ОТНОСИТЕЛЬНОГО СЧИСЛЕНИЯ. ДОВЕРИТЕЛЬНЫЕ ИНТЕРВАЛЫ

5.1 Модель погрешностей абсолютного счисления.

      Прогнозирование случайных процессов

              Прогнозирование случайного процесса

Случайные процессы с постоянным математическим ожиданием. Прогнозирование случайного процесса Х(t) состоит в оценке будущих ординат (значений)  процесса по прошлым и/или текущим его значениям. На рис.5.1.1 построен график случайного процесса.

В интервале времени (t₀, t₁) наблюдался процесс, для момента t₁+Θ необходимо найти прогнозируемое значение. В теории [23, 62, 98] известно несколько простых способов прогноза, из которых рассмотрим три:

Рис. 5.1.1. Прогнозирование случайного процесса а) инерционный прогноз, или прогноз по последнему измеренному значению (х^₁на рис. 5.1.1), при котором прогнозируемое значение и его СКП (без учета погрешностей измерения процесса) равны [62]:

x^₁(T₁ + ) = x(T₁); m²₁() = 2m²_x[1 – ()]:          (5.1.1)

б) прогноз по математическому ожиданию (х^₂ на рис.5.1..1) имеет два варианта:

по априорному значению математического ожидания, при котором [62]:

x^₂(T₁ + ) = М_x; m₂() = m_x,                   (5.1.2,а)

 по оценке математического ожидания, полученной по этой же реализации на интервале времени t=T₁–T₀. В этом случае СКП прогноза получается на основании теоремы о составляющих случайного процесса погрешностей (3.4.15):

x^₂(T₁+) = x*; m²₂() = m²_х*+ m²_х[1–],      (5.1.2,б)

где m_х*= m_х/; n – количество независимых измерений, эквивалентное продолжительности времени t и определяемое по (3.4.7). в) статистический прогноз по одной точке, или оптимальный прогноз ( на рис.3.2.1), при котором

x^₃(T₁ + ) = x* +[x(T₁) – x*]; m²₃() = m²_x[1-²()],     (5.1.3)

где x^_j(t₁+Θ) - прогнозируемое значение случайного процесса на                         интервал времени Θ; М_х – математическое ожидание процесса;  x* - оценка математического ожидания (среднеарифметическое значение) процесса; ρ(Θ) - АКФ процесса, определяемая по текущей реализации или принимаемая априорно; х(T₁) - последнее измеренное в момент Т₁ значение процесса;        m_j(Θ) - СКП прогноза, являющаяся функцией времени   прогноза Θ; m_x - СКП случайного процесса.

Расчёты СКП m₁() и m₃() при разных значениях  показывают, что эти СКП быстро растут с увеличением времени прогноза . При 0,5_К наступает равенство m₁()=m₂(); с дальнейшим увеличением становится m₁()>m₂() и при _К наступает m₁()=1,4m₂(). Поэтому инерционный прогноз должен быть прекращён при =0,5_К. СКП оптимального прогноза растёт медленнее и равенство m₃() = m₂() наступает при _К и далее  СКП m₃() остаётся постоянной. Поэтому оптимальный прогноз при _К может быть прекращен.

В навигации способы (5.1.1), (5.1.2,а), (5.1.3) используют, например, при прогнозировании точки местоположения корабля, сносимого с заданной линии пути течением, после выполнения обсервации. Способ (5.1.2,б) используют, например, в процессе фильтрации (совместной обработки обсервованных и счислимых координат).  

Другие простые способы прогноза (линейный и косинусный) не рассматриваем, т. к. они сложнее инерционного и менее эффективны, чем оптимальный. Отметим только, что продолжительность косинусного прогноза, реализованного в некоторых типах НК, должна быть равна интервалу корреляции погрешностей прогнозируемого НП =_К. Более сложные способы прогнозирования, например, статистический прогноз по двум и более точкам, также не рассматриваем, т. к. при малом выигрыше в точности ВТ <1 – 3% [62] сильно усложняются