Основные законы вращательного движения. Центробежные механизмы, страница 2

Таким образом, чем больше момент М, тем больше угловое ускорение b и тем быстрее раскрутится маховик или другая деталь машины. С другой стороны, чем больше момент инерции I, тем труднее сообщить телу нужную скорость. Когда момент сил М, действующих на тело, равен нулю, то и ускорение b равно нулю, т.е. тело вращается с постоянной угловой скоростью w, если только момент инерции I остается постоянным. В частном случае w =0, т.е. тело покоится. Изменяя момент инерции тела, можно изменять быстроту его вращения. Например, пустая бадья тем медленнее опускается в колодец, чем больше момент инерции I ворота относительно его оси вращения. Таким образом, если на два тела действуют силы, обладающие равными моментами, то быстрее раскрутится тело с меньшим моментом инерции. Его легче и остановить.

Момент инерции однородного тела относительно некоторой оси зависит от его массы, размеров и формы, а также от положения этой оси в теле. Например, момент инерции однородного диска относительно оси, проходящей через центр диска перпендикулярно его плоскости, равен I=m×R²/2, а шара относительно оси, проходящей через его центр, равен 2×m×R²/5, где т — масса диска (шара),R — радиус диска (шара).

Определим теперь работу, совершаемую постоянным моментом сил М при повороте тела на угол j. Пусть к твердому телу (рис.1) приложена сила f, момент которой относительно оси 001 равен М=f×r. При повороте тела на угол j точка приложения силы f переместится на длину дуги S, поэтому работа, совершаемая силой f, будет равна: A=f×S. Но S=r×j. Следовательно, А=f×r×j, или А=M×f.

Таким образом, работа, совершаемая при повороте тела на угол j, численно равна произведению момента сил на угол поворота.

Кинетическая энергия каждого элемента массой mi, вращающегося тела равна:

K1 = mi×Vi²/2,или K2 = mi×ri²×w²/2,

поскольку Vi=w×ri. Кинетическая энергия всего тела равна сумме энергий частиц:

K = (m1×r1²+ m2×r2² +m3×r3²+…+mN×rN²)×w²/2, или Kвр. = I×w²/2,

т.е. кинетическая энергия вращающегося тела прямо пропорциональна его моменту инерции и квадрату угловой скорости.

Кинетическая энергия вращающихся тел используется во многих машинах. Например, прокатные станы снабжают массивными маховиками (до 50 т каждый), приводимыми во вращение электродвигателями.

  Рис.3 Ротор электрического двигателя.

При нормальной скорости 600 об/мин запас  кинетической энергии маховика таков, что в момент проката она дает стану мощность до 20 000 кВт. Маховое колесо делает равномерным ход двигателя внутреннего сгорания. Во время рабочего такта оно накапливает энергию, а в течение остальных тактов отдает ее обратно двигателю. Детали многих машин имеют не только большую скорость, но и громадные размеры (рис.3) и вес. Так, например, проводники, намотанные на роторе современного мощного электрического генератора, пробегают при своем вращении в течение суток путь, равный расстоянию от Москвы до Владивостока, а вес самого ротора достигает 4000 кН и более. При такой скорости и весе в детали возникают громадные напряжения, стремящиеся разрушить машину.

Рассмотрим в качестве примера вращение махового колеса (рис.4).

Рис.4 Сила упругости F заставляет часть ab описывать окружность.

Пусть его обод движется с линейной скоростью v. На любую его часть ab массой т со стороны спицы cd. действует сила упругости F, заставляющая часть аb двигаться по окружности радиуса R с центростремительным ускорением V²/R. По второму закону Ньютона