Построение простой модели Леонтьева. Минимальные затраты труда, необходимые для производства каждого продукта

Министерство образования и науки Российской Федерации

Государственное образовательное учреждение высшего

Профессионального образования

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ

УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра теории рынка

Контрольная работа

По дисциплине: «Математические методы исследования экономики»

Вариант №2

Факультет: ВиЗОФБ

Группа: 001

Выполнила:

Проверил:

Новосибирск 2012

Задача 1.

Для заданной общей модели Леонтьева построить простую модель Леонтьева. Найти путь производства в единице каждого продукта. Определить минимальные затраты труда, необходимые для производства каждого продукта.

Для произвольного вектора выпуска решить двойственную задачу и определить теневые цены для каждого из продуктов.

Для варианта №2 даны следующие данные:

Определим, какие технологические процессы следует включить в простую модель Леонтьева, т.е. будем минимизировать затраты труда при любом фиксированном ненулевом векторе выпуска.

Пусть хотим произвести  набор продуктов y=(25, 50, 100)

0,2х₁+0,3х₂+0,1х₃+0,3х₄+0,1х₅+0,2х₆ → min

0,7х₁+0,9х₂-0,3х₃-0,2х₄-0,1х₅-0,2х₆=25

-0,2х₁-0,3х₂+0,7х₃+0,8х₄-0,1х₅-0,3х₆=50

-0,3х₁-0,1х₂-0,3х₃-0,1х₄+0,9х₅+0,9х₆=100

х₁,х₂,х₃,х₄,х_5,х₆ ≥ 0

Далее применим поиск решения:

Далее построили простую модель Леонтьева (включили только процессы с положительными значениями интенсивности).

Найдем путь производства в единице каждого продукта:

Можно сделать вывод, что минимальными будут затраты труда, необходимые для производства единицы продукта G3.

Прямая задача выглядит так:

0,2х₁+0,1х₂+0,1х₃ → min

0,7х₁-0,3х₂-0,1х₃=25

-0,2х₁+0,7х₂-0,1х₃=50

-0,3х₁-0,3х₂+0,9х₃=100

х₁,х₂,х₃, ≥ 0

Двойственная задача выглядит следующим образом:

25р₁+50р₂+100р₃ → max

0,7p₁-0,2х₂-0,3p₃=0,2

-0,3р₁+0,7р₂-0,3р₃=0,1

-0,1р₁-0,1р₂+0,9х₃=0,1

р₁,р₂,р₃, ≥ 0

Далее применим поиск решения:

Решили двойственную задачу и определили теневые цены для каждого из продуктов.

Задача 2.

Для заданной экономической системы построить натуральную и стоимостную модели межотраслевого баланса. Вычислить матрицы прямых, полных и косвенных затрат.

Определить наиболее доходные (убыточные) отрасли с точки зрения государства и населения отрасли.

Для варианта №2 даны следующие данные:

Потребление в день:

Еда – 1, дрова – 2.

Возможное производство в день:

Еда – 16, дрова – 17, топоры – 7, бумеранги – 17.

Расход за один день деятельности:

При лесозаготовках топоров -1, на охоте бумерангов – 2.

Отдых после одного дня работы:

После охоты -0,5 , после лесозаготовок – 0,4 , после изготовлений орудий труда – 0,1.

Необходимо составить баланс на 344 дня.

Для потребления нам потребуется на весь период 344 ед.еды и 688 ед.дров.

Для производства 344 ед.еды потребуется 21,5 дней охоты, т.е. потребление в эти дни еды -21,5ед., дров – 43ед., бумерангов – 43шт., отдых – 10,75 св.дней.

Для производства 688 ед.дров потребуется 40,47 дней лесозаготовок, т.е. потребление в эти дни еды – 40,47 ед., дров -80,94 ед., топоров – 40,47 ед., отдых – 16,19 св.дней.

Для производства орудий труда нам потребуется 8,31 дней (2,53 дня для производства 43 бумерангов и 5,78 дней для производства 40,47 топоров). Понадобится 8,31 ед.еды и 16,62 ед.дров, отдыха - 0,83 св.дней.

1 тр.день=16 ед.еды=17 ед.дров = 7 топоров = 17 бумерангов , т.е.

1 ед.еды =0,063 тр.д.; 1 ед.дров =0,059 тр.д.; 1 топор =0,143 тр.д.;

1 бумеранг =0,059 тр.д.; 1 св.д. = 1ед.еды + 2 ед.дров = 0,181 тр.д.