Исследование случайных явлений вероятностно-статистическими методами. Вероятность пересечения стержнем какой-либо прямой на плоскости

Тема  курсовой работы:

«Исследование случайных явлений вероятностно-статистическими методами»

Докладывает студент Союшов.

Цели курсовой работы

Курсовая работа по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика» предусмотрена учебным планом  подготовки специалистов и имеет следующие цели:

а) закрепление и углубление теоретических знаний, полученных на лекциях и других видах занятий; формирование вероятностно–статистического мышления, необходимого для исследования сложных систем различной природы со стохастическими переменными.

б) формирование умений самостоятельно решать задачи по определению вероятностных и числовых характеристик случайных явлений с обоснованием применяемых при этом теоретических положений и анализом полученных результатов;

В результате выполнения задания была подготовлена курсовая работа, в содержание которой вошло 10 задач, а также введение, заключение, список использованных источников информации .

Описание задач:

Задача №1.

В первой задаче необходимо использовать классический метод определения вероятности в связи с тем, что попадание элементарных частиц в каждую ячейку событие равновозможное и независимое. В  числителе применяем формулу гипергеометрического распределения, знаменатель вычисляется по формуле числа размещений n^m без повторений.

A – событие, при котором во всех ячейках окажется равное число частиц, т.е. в каждой ячейке по 5 частиц.

B – событие, при котором две ячейки будут не заняты, а в остальных число частиц будет одинаковым, т.е. в каждой из двух оставшихся их будет по 10.

С – событие, при котором все частицы попадут в одну ячейку, т. е. в одной ячейке их будет 20.

D – событие, при котором хотя бы одна ячейка будет свободна (не занята частицами).

Ответ:

1.  Вероятность того, что во всех ячейках одинаковое число частиц:

P(A)= 0,004511;

2.  Вероятность того, что две ячейки будут не заняты, а в остальных число частиц будет одинаковым: P(B)= 0,0000000017;

3.  Вероятность того, что все частицы попадут в одну ячейку:

P(C)= 0,000000000018;

4.  Вероятность того, что хотя бы одна ячейка будет незанята:

P(D)= 0,012667.

Задача №2.

1. Для решения задачи используем геометрический способ определения вероятностей, т.к. геометрический способ является разновидностью классического для бесконечного числа равновозможных исходов опыта.

При решении этой задачи используется следующая форма определения вероятности:

Исход опыта(положении иглы на плоскости) описывается двумя координатами: х – абсцисса центра иглы относительно ближайшей прямой слева и j - угол, который составляет игла с прямыми. Все значения х и j равновозможны (в этом и проявляется бросание иглы «наугад»). Очевидно, можно (не теряя общности) ограничить возможные значения х участком от 0 до 2h/2, а j - от 0 до p/2, рассматривая возможность пересечения только с одной (ближайшей левой ) прямой. Прямоугольник на плоскости х0j со сторонами 2h/2 и p/2 представляет пространство элементарных событий W; SW=2hp/4. Если абсцисса х центра иглы будет меньше, чем 2l/2 sinj, то игла пересечет прямую, интересующее нас событие А={x<l/2sinj}/ (заштрихованная область)

Вероятность пересечения стержнем какой-либо прямой на плоскости                   вычисляется классическим способом по формуле P=m/n, где

m – количество пересечений,  n – количество всех бросков.

Число π рассчитывается как .

Ответ:

1) Вероятность пересечения стержнем какой-либо прямой на плоскости равна P=0,5363727;

2) Эмпирическое значение числа π при заданных h,l и числе испытаний n ≥100 равно π3,14.

Задача №3.

= 1 – (1 - )(1- );

 =  + ;

 = (1 - (1 - )  (1 -  )) (1 - );

 = (1 - (1 - )  (1 - ))  (1 – (1 -  )  (1 - )  ;

Ответ: вероятность того, что информация об угрозе дойдет до Т-М составляет 0,4646, т.е. в 4646 случаях из 10000 информация окажется у Т-М.

Задача №4.

В этой задачи мы используем классический способ нахождения вероятности, с помощью сочетаний. Событие А сложное, поэтому мы разделяем его на следующие гипотезы:

_1.  Н₁ – вызваны 1 троечник, 1 хорошист, 1 отличник;

2.  Н₂ – вызваны 1 троечник, 2 хорошиста;

3.  Н₃  - вызваны 2 троечника и 1 хорошист;

4.  Н₄ – вызваны 2 троечника и 1 отличник.

Однако вероятности этих гипотез, необходимых по условию задачи, не составляют полную группу событий, для этого её завершения мы также берём вероятность Р(Н₅) – вероятность того что троечник на экзамене получит оценку «2».

Ответ: P(A)=0,06325.

Задача №5.

В начале проинтегрировав правую часть по левой границе найдём