Информатика и выч. техника \ Вычислительные машины, системы и сети

Фазовое пространство и фазовая плоскость нелинейной системы. Состояние системы в любой момент времени

Страницы работы

11 страниц (Word-файл)

Скачать файл

Фрагмент текста работы

этом знаменатель передаточной функции будет преобразован к виду: . (3)

В зависимости от соотношения корни характеристического уравнения передаточной функции могут быть комплексными, вещественными, правыми, левыми… Следовательно, кривая есть граница, отделяющая комплексные корни от вещественных. Изобразим эту границу:

Тогда выделяются следующие области:

Область , в которой .

В каждой из этих областей будет свое движение системы

Дифференциальное уравнение второго порядка (1) соответствует системе уравнений первого порядка вида:

И для этой систему уравнение фазовой траектории будет иметь вид:

или . (4)

Изучим влияние и на решение дифференциального уравнения.

Система без вязкого трения

Рассмотрим случай системы без вязкого трения, когда . Уравнение траектории (4) будет приведено к виду , (5)

а дифференциальное уравнение (1) также преобразуется:

или .

Изоклины (линии равных углов наклона касательных к фазовой траектории будут определены уравнением или . При угол наклона касательных к траектории составляет , а при угол равен (фазовая траектория пересекает оси OX и OY под прямым углом).

Решением уравнения (5) будет эллипс , где константа С определяется начальными значениями и : .

При этом решение исходной системы при будет иметь вид: .

Движение автономной системы при 0<ξ<+1

Корни характеристического уравнения при таких параметрах будут комплексными с отрицательной вещественной частью. Движение будет колебательным и затухающим.

Уравнение изоклины в этом случае имеет вид:

, откуда .

Полагая , получим - уравнение изоклины, где касательные к фазовой траектории являются параллельными оси абсцисс.

Уравнение движения системы является колебательным с затуханием:

, .

Фазовая траектория имеет вид спирали, закручивающейся по часовой стрелке в начало координат – это состояние покоя (устойчивого равновесия).

Движение автономной системы при 0>ξ>-1

В этом случае все выкладки аналогичны предыдущим.

Уравнение прямой будет иметь тот же вид: , но сама прямая располагается в I и III квадрантах. Фазовая траектория также имеет вид спирали, но спирали раскручивающейся от 0 до . Движение системы носит колебательный характер, расходящееся (неустойчивое).

Так как движение расходящееся, то центр

(.) – неустойчивый фокус.

Движение автономной системы при ξ>+1

Корни характеристического уравнения являются отрицательными вещественными: . Движение системы – асимптотически устойчиво и определяется соответствующими экспонентами:

Изоклины фазовой траектории, как и ранее, имеют вид . В дополнение к ним появляется еще одна изоклина, соответствующая конечному движению системы. При этом выполняется (так как убывает быстрее, чем ), причем . То есть .

Тогда из общего уравнения изоклины с учетом получаем: квадратное уравнение, аналогичное характеристическому уравнению системы. Изоклины, соответствующие , расположены во II и IV квадрантах фазовой плоскости.

Движение автономной системы при ξ<-1

Решение системы в этом случае будет неустойчивым, так как корни характеристического уравнения – положительные. Появляются предельные изоклины, соответствующие начальному времени процесса .

Точка (.) – неустойчивый узел.

Движение автономной системы при ω²<0

Рассмотрим область . Дифференциальное уравнение, соответствующее этой области, имеет вид: .

Корни его характеристического уравнения будут вещественными, но разных знаков: и . Движения системы – неустойчивы. Корни и на фазовой плоскости определяют две изоклины, соответствующие начальным и конечным состояниям системы.

Фазовая траектория имеет форму гиперболы. Фазовый портрет – седло.

Точка (.) – точка неустойчивого равновесия.

Расчет переходных процессов по фазовой траектории

Рассмотрим некоторую фазовую траекторию. Пусть начальная точка на ней: и некоторое . Возьмем небольшое приращение х, то есть ∆х. Вообразим, что ∆х задано как . Тогда - это скорость.

Полагая, что , получаем . Таким образом определили на первом участке. Далее вычислим на следующем участке, и так далее.

Линии переключения на фазовой плоскости

Если правая часть дифференциального уравнения не дифференцируемая функция (релейная система), то особые точки могут сливаться в целые линии – линии переключения, и по разные стороны от них нелинейный элемент НЭ системы переключается в разные состояния.

Рассмотрим нелинейную следящую систему с гистерезисом:

Свободные движения этой системы (при g(t)=0) описываются нелинейным дифференциальным уравнением второго порядка:

, которое преобразуется к системе двух уравнений первого порядка:

Уравнение фазовой траектории для этой системы будет иметь вид:

Основная идея: там, где нелинейный элемент находится в одном из своих устойчивых состояний, дифференциальное уравнение сильно упрощается и его решают отдельно в каждой из этих областей и на границе линии переключения.

1) Область N1: F(x) = –1 при условии: .