Сигналы и их характеристики. Построение временного графика. Спектр сигнала в базисе Уолша. Спектральная плотность сигнала относительно ядра Фурье

Найти спектр сигнала в базисе Уолша, построить спектральную диаграмму.

Для этого воспользуемся данной формулой:       

Wal_n(t)   - функция Уолша n-ого порядка.  

n изменяется от  0 до 7.

 – площадь

В результате получаем спектральную диаграмму:

·  Найти аналитически спектральную плотность прямоугольного видеоимпульса относительно ядра Фурье.

За прямоугольный импульс примем:

Исходя из прямого преобразования Фурье спектральная плотность данного сигнала определяется как:

S(ω)=)=

●   Найти спектральную плотность сигнала относительно ядра Фурье, построить графики её модуля и аргумента.

Решение:  Для перехода описания сигнала во времени  к описанию в частотной области  используют прямое преобразование Фурье:

Таким образом, одиночный импульс, заданный на всей бесконечной оси времени, имеет сплошной спектр в виде непрерывной функции частоты , которая называется спектральной плотностью.

Значение спектральной плотности прямоугольного импульса находится из формулы:

Используем одну из основных теорем о спектрах – теорему о сдвиге:                    

Найдём длительность и задержку исходного сигнала:

Длительность: ,   

Задержка: .

Подставляем в формулу и получаем:

Откуда графики модуля и аргумента выглядят следующим образом:

●   Найти спектр периодической последовательности, полученной повторением данного сигнала, относительно комплексного базиса Фурье, построить амплитудную и фазовую спектральные диаграммы.

Спектральная плотность связана простым соотношением с амплитудами периодического сигнала , полученного повторением с периодом   одиночного импульса .                       

В нашем случае имеем следующее:

Для наглядности графики спектральных диаграмм изобразим совместно:

●   Найти автокорреляционную функцию сигнала, построить график.

Решение: Одной из важных временных характеристик детерминированных сигналов, устанавливающих энергетическую связь сигнала  с его сдвинутой на величину  копией , является автокорреляционная функция (АКФ).

В теории сигналов также доказывается, что АКФ и энергетический спектр связаны парой преобразований Фурье:

Графически изобразим принцип метода определения АКФ. Для этого покажем степень связи (корреляции) сигнала  со своей копией, сдвинутой на величину  по оси времени. На графиках, приведенных ниже, можно наблюдать смещение оригинала и копии сигнала на величину Δt (Δt = 0..8·10^-7 c.).

С_i – интервал совпадения сдвинутого сигнала с оригиналом     

Ясно, что функция  достигнет своего максимума при . При этом максимальное значение корреляционной функции равно энергии сигнала.

В результате получаем график:

●   Определить эффективную ширину спектра.

Решение:    Полная энергия одиночного импульса может быть вычислена либо во временной области, либо в частотной в соответствии с равенством Парсеваля:

В частотной области можно определить эффективную ширину спектра сигнала ω_эф - это такой частотный интервал, в котором сосредоточена подавляющая часть (k_э) полной энергии сигнала. Обычно  k_э = 0.9(90%)  или  0.95(95%). Она находится так:

Так как автокорреляционная функция достигает максимума при τ = 0, то максимальная энергия сигнала равна:

Значит, эффективная энергия равна:

Предположим, что:

Тогда, используя блок Given-Find, определим эффективную ширину спектра сигнала:

Следовательно, ω_эф=6.512·10⁷ рад/с.

●   Найти сигнал, который получается из заданного при воздействии фильтра с прямоугольной АЧХ и линейной ФЧХ (частота среза fсрфильтра в МГц и крутизна S ФЧХ в рад/МГц приведены в табл. 2), построить временной график полученного сигнала.

Таблица 2.

Решение:  Определим передаточную функцию цепи имея данные значения частоты среза  фильтра и крутизны :     , где  вышеупомянутая функция Хевисайда.

Представим исходный сигнал в операторном виде применив прямое преобразование Лапласа:

,

заменив на  получаем:

.

Выходной сигнал в частотной области имеет вид:

Тогда, чтобы найти сигнал во временной области воспользуемся формулой:

.

Подставляя в данный вид уравнения найденные значения, в системе MathCAD, получаем временной график полученного сигнала при воздействии фильтра:

●   Найти сигнал, который получается из заданного при воздействии RС-фильтра НЧ с параметрами, указанными в табл. 3 (R в кОм, С в пФ), построить временной график полученного сигнала