Переходный процесс в цепи с сосредоточенными параметрами. Расчет принужденного режима методом комплексных амплитуд

Министерство образования и науки

Российской Федерации

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ

УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра Общей электротехники

Расчетно-графическое задание №3

Переходный процесс в цепи

с сосредоточенными параметрами

Выполнил:                                                      Проверил:

ОЦЕНКА
Выполнение	Защита	Общая

Студент:                     

Группа:   РКС 10-42

Дата:      29.05.06 

Преподаватель: Н

Новосибирск

2006

Вариант:

1). Номер схемы N_сх = 5

2). Номер строки цифровых данных N = 1

e(t) = cos(10⁶t + 60°), В

R₃ = 3 кОм

R₄ = 2 кОм

R₅ = 2.5 кОм

L₂ = 1 мГн

С₂ = 1 нФ

Задание:

Найти переходный ток на входе  цепи второго порядка, изображенной на схеме, и построить график его изменения в функции времени. ЭДС источника задана в виде e(t)=E_mcos(10⁶t+Y_e)

Примечания:

1.  Принужденную составляющую тока рекомендуется найти методом комплексных амплитуд (т.е. символическим методом), а свободную - операторным.

2.  Если наибольшее значение свободной составляющей окажется значительно меньшим по сравнению  с амплитудой принужденной составляющей, то допускается раздельное построение этих составляющей на чертежах в разных масштабах (без суммирования).

Рассчитаем искомую величину комбинированным методом.

Введем направления и обозначения токов и напряжений.

I.   Расчет принужденного режима методом комплексных амплитуд

Для расчета принужденного режима методом комплексных амплитуд найдем реактивные сопротивления схемы X_L2 и X_C2  :

X_L2 = wL₂ = 1000  Ом

X_C2 = 1/wC₂ = 1000 Ом

Найдем входное сопротивление цепи:

Рассчитаем ток I_4пр :

Или в тригонометрической форме:

Найдем также значение тока I_4пр (через катушку) в момент коммутации:

По формуле делителя токов найдем ток I_5пр и представим его в тригонометрической форме:

В пятой ветви содержится конденсатор. Найдем напряжение на конденсаторе в принужденном режиме:

Запишем в тригонометрической форме:

В начальный момент времени напряжение на конденсаторе было равно:

Осталось найти ток I_3пр (также по формуле делителя):

Проверка (по балансу мощностей):

II. Расчет режима до коммутации относительно тока через индуктивность и напряжения на емкости.

 

Найдем входное сопротивление цепи:

Отсюда рассчитаем значение тока I₄₀ :

Переведем в тригонометрическую форму записи:

В начальный момент времени:

Значение тока через конденсатор, то есть тока I₅₀  для нашей схемы:

Выше приведена тригонометрическая форма записи для тока i₄₀(t), которая полностью повторяется и для тока i₅₀(t).

Расчет значение напряжения на конденсаторе в режиме до коммутации:

В тригонометрической  форме:

В начальный момент времени напряжение на конденсаторе будет равно:

Из схемы видно чему равно значение тока I₃₀ в режиме до коммутации:

Проверка расчета по балансу мощностей:

III. Определение независимых начальных условий.

Запишем законы коммутации:

u_C(0+) = u_C(0-)

i_L(0+) = i_L(0-)

Из предыдущего пункта, воспользовавшись тригонометрической формой записи тока i₄₀(t) и напряжения u_C0(t) , найдем значение тока через катушку и напряжение на конденсаторе в момент коммутации:

u_C0(0) = 0.192 V

i₄₀(0) = 1.111×10^-4A

IV. Определение свободных составляющих независимых начальных условий.

Найдем ток через катушку и напряжение на конденсаторе в свободном режиме по выражению:

i_св(0) = i₄₀ (0) – i_4пр(0)

u_св(0) = u₅₀ (0) – u_5пр(0)

Подставим численные значения:

i_св(0)= - 7.983×10^-5 A

u_св(0)= - 0.061, В

V. Расчет операторной схемы.

Найдем свободную составляющую операторным методом.

Искомый ток  I₄(р) рассчитаем методом контурных токов.

Ток I₁₁(p) = I₄(р) зададим по внешнему контуру, ток I₂₂(p) по внутреннему контуру. Получим систему двух уравнений:

  

Получим матрицу определителя системы:

Искомый ток  I₁₁(p) = I₄(р) = ∆₁(р)/∆(р), где ∆₁(р) равен:

Таким образом, подставив численные значения, получим выражение для I₄(р) = ∆₁(р)/∆(р):

Найдем оригинал данного выражения.

Для этого найдем корни уравнения

Получили два разных вещественных корня:

Применим формулу разложения:

где F₁(p)= ,                                                          

F₂(p)=

Подставим численные значения:

                          

                       

Оригинал тока будет иметь вид:

Построим свободную составляющую искомого тока

(Так как наибольшее значение свободной составляющей оказалось значительно меньшим по сравнению  с амплитудой принужденной составляющей, то построим графики принужденной и свободной составляющей тока на разных графиках, без суммирования).

График принужденной составляющей:

Совместим результаты расчетов и запишем общее выражение для искомого тока:

Построим график тока i₄(t):

 

Как видно из графика переходный процесс очень быстро затухает.

Проверка.

Найдем значение выражения для тока i₄(t) при t=0:

i₄(0) = 1.111×10^-4A

Таким образом, полученное значение совпадает с рассчитанным ранее в п.III и удовлетворяет первому закону коммутации (ток через индуктивность не может измениться скачком).