Измерение ускорения свободного падения. Описание эксперимента. Методика измерений. Принципиальная схема установки

Аннотация. Объект исследования - гравитационное поле Земли. В данной лабораторной работе измеряется время пролета намагниченного  образца через вертикально расположенные индукционные  датчики, расстояния между которыми известны. По результатам измерений рассчитывается значение  ускорения свободного падения, с использованием статистических методов обработки. Времена прохождения телом данных расстояний  измеряются с помощью цифрового осциллографа.

Анализ данных и расчёт погрешностей проводится с помощью средств MS Excel.

1  Введение

Основными целями данной лабораторной работы являются:  использование статистических методов измерений и изучение цифрового осциллографа. С помощью индукционных катушек – датчиков и цифрового осциллографа исследуется закон движения тела в поле силы тяжести. Полученные результаты позволяют с определённой точностью рассчитать ускорение свободного пaдения.

2  Описание эксперимента

2.1  Методика измерений

В данной работе для нахождения ускорения свободного падения g используются результаты измерений  времени пролета тела через вертикально расположенные датчики. Методика расчета строится следующим образом. Пусть положение двух датчиков определяется расстояниями S1 и S2  по отношению к исходной позиции тела и в момент t=0 начинается свободное падение. Пользуясь уравнением равноускоренного движения, получаем:

где  ν₁-скорость тела при прохождении им датчика 1 и Dt = t₂ - t₁.

Это уравнение можно представить в виде из которого следует, что если набрать серию измерений Dt₁, Dt₂ ,…, Dt_N  для разных положений датчика 2 (!не меняя положения датчика 1), то точки, координаты которых вычисляются по формулам

должны ложиться (при идеальных условиях эксперимента) на прямую линию, уравнение которой

Видно, что угол наклона этой прямой определяется величиной g .

2.2  Описание установки

Принципиальная схема установки приведена на рисунке 1.

Намагниченный стержень удерживается в верхней части направляющей трубы магнитным полем соленоида (1). При размыкании ключа (4) стержень освобождается и начинает свободно падать в поле тяжести.

Проходя через индукционные датчики (2), стержень по закону электромагнитной индукции наводит в них ЭДС. Все три катушки соединены последовательно  ко входу осциллографа (5), и на экране осциллографа фиксируются три импульса в моменты прохождения стержнем каждого датчика. Стержень движется с постоянным ускорением g.

Теперь по известным расстояниям между датчиками и измеренным промежуткам времени можно найти g.

Рис.1: Принципиальная схема установки

1 - электромагнит

2 - датчики-катушки

3 - блок питания

4 - выключатель

5 - осциллограф

2.3  Результаты измерений

Измерив времена t1 и t2 прохождения телом расстояния S2 между вторым и третьим датчиками (при неизменном расстоянии между первым и вторым датчиками S1), занесем полученные данные в таблицу 1: Все последующие вычисления выполнены в среде Excel 97, таблицы и график импортированы из .xls.

Таблица 1

nn	s,  м	dt,  мс
1	0,1	32,4
2	0,12	38,6
3	0,14	44,4
4	0,16	50,2
5	0,18	56,4
6	0,2	61,8
7	0,22	67,9
8	0,24	72,8
9	0,26	78,6
10	0,28	84,2
11	0,3	89,2
12	0,32	94,6
13	0,34	99,6
14	0,36	104,6
15	0,38	109,7
16	0,4	114,7

3  Анализ  результатов

3.1  Обработка результатов

У нас получилась серия из 16 измерений времени   Dt    и расстояния   DS    при неизменном положении датчика 1. Сведем данные в таблицу 2 с данными  DS и Dt  и построим график, на котором точки заданы координатами Y = DS  / Dt,     X = Dt / 2

Таблица 2

nn	s,  м	dt,  мс	s/dt,  м/с	dt/2,  с
1	0,1	32,4	3,08642	0,0162
2	0,12	38,6	3,108808	0,0193
3	0,14	44,4	3,153153	0,0222
4	0,16	50,2	3,187251	0,0251
5	0,18	56,4	3,191489	0,0282
6	0,2	61,8	3,236246	0,0309
7	0,22	67,9	3,240059	0,03395
8	0,24	72,8	3,296703	0,0364
9	0,26	78,6	3,307888	0,0393
10	0,28	84,2	3,325416	0,0421
11	0,3	89,2	3,363229	0,0446
12	0,32	94,6	3,382664	0,0473
13	0,34	99,6	3,413655	0,0498
14	0,36	104,6	3,441683	0,0523
15	0,38	109,7	3,463993	0,05485
16	0,4	114,7	3,487358	0,05735

По графику видно, что точки расположились вблизи некоторой прямой y = a + bx .Коэффициент  b равен тангенсу угла наклона прямой т.е. равен g.  Приведенное на графике уравнение тренда получено стандартными средствами  Excel.

3.2  Оценка погрешностей

Определим дисперсию величин y и b с помощью формул:

Расчет погрешности измерений выполняется также в Excel,  результаты показаны в табл. 3.

Таблица 3

Расчет  погрешности
s/dt,  м/с	dt/2,  с	(y-a-bx)^2	x^2
3,08642	0,0162	2,07686E-08	0,00026244
3,108808	0,0193	5,69145E-05	0,00037249
3,153153	0,0222	7,50703E-05	0,00049284
3,187251	0,0251	0,000213913	0,00063001
3,191489	0,0282	0,000125724	0,00079524
3,236246	0,0309	5,39927E-05	0,00095481
3,240059	0,03395	0,000339694	0,001152603
3,296703	0,0364	0,000208607	0,00132496
3,307888	0,0393	6,29217E-06	0,00154449
3,325416	0,0421	0,000147548	0,00177241
3,363229	0,0446	1,98973E-06	0,00198916
3,382664	0,0473	2,86248E-05	0,00223729
3,413655	0,0498	1,91839E-06	0,00248004
3,441683	0,0523	2,66002E-05	0,00273529
3,463993	0,05485	7,43673E-06	0,003008523
3,487358	0,05735	3,37514E-06	0,003289023
сумма=	0,59985	0,001297721	0,025041618
a=9,7022	sy^2=	9,26944E-05
b=2,9291	sb^2=	0,036309927
	sb=	0,190551638

4  Обсуждение полученных результатов

Согласно табл. 3 вычисленное значение  ускорения свободного падения (учитывая статистическую погрешность) представим в следующем виде:  g = b + s_b

g = 9.7 ± 0.19  м/c²

Согласно данным  справочника  «Физические величины» ускорение свободного падения на широте Новосибирска (φ ≈ 55)  составляет  9,815034 м/с²,  т.е. полученное значение ускорения свободного падения совпадает в пределах погрешности измерений с табличным значением.

Отличия измеренного и табличного значений вызваны, скорее всего