Задачи на применение аффинных преобразований.
1) Доказать, что в произвольном треугольнике медианы пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2:1, считая от вершины.
2) Внутри произвольного треугольника АВС указать такую точку М, чтобы треугольники АВМ, АСМ, ВСМ были равновеликими.
3) В параллелограмме АВСD вершины А, В, С и D соединены с серединами сторон CD, AD, AB и BC соответственно. Доказать, что площадь четырехугольника, образованного этими прямыми, составляет пятую часть от площади параллелограмма.
4) В треугольнике АВС медианы пересекаются в точке D. Найти площадь АВС, если площадь треугольника АВD равна S.
5) Стороны треугольника EFG соответственно равны медианам треугольника АВС. Доказать что площади треугольников EFG и АВС относятся как 3 : 4 .
6) На медиане СD треугольника АВС дана точка М. Через нее проведены прямые АМ и ВМ, пересекающие стороны ВС и АС соответственно в точках А1 и В1 . Доказать, что отрезок А1В1 делится медианой СD пополам и параллелен стороне АВ.
7) Доказать, что медианы треугольника делят его на шесть частей с равной площадью.
8) Доказать, что медиана АМ треугольника АВС делит пополам любой отрезок, параллельный стороне ВС, если концы этого отрезка лежат на сторонах АВ и АС.
9) В произвольной трапеции АВСD с основаниями АВ и СD диагонали пересекаются в точке О. Точки М и N выбраны на диагоналях АС и ВD так, что АМ=ОС, ВN=OD. Доказать, что прямые DM и CN отсекают на основании АВ трапеции равные отрезки AE и BF.
10) Точки E и F лежат на стороне АВ треугольника АВС, причем так, что точка Е лежит на отрезке АF и АЕ=ВF. Прямая, проведенная через точку Е параллельно стороне АС, пересекает прямую, проведенную через точку F параллельно стороне ВС в точке К. Доказать, что точка К лежит на медиане треугольника АВС, проведенной к стороне АВ.
11) Доказать, что в любой трапеции середины оснований, точка пересечения диагоналей и точка пересечения продолжений боковых сторон лежат на одной прямой.
12) На медиане СМ треугольника АВС дана произвольная точка Р. Прямые АР и ВР пересекают стороны треугольника соответственно в точках А1 и В1 . Доказать, что площадь треугольника АА1С равна площади треугольника ВВ1С.
13) Доказать, что площадь треугольника, вершинами которого являются вершина параллелограмма и середины сторон, сходящихся в противоположной его вершине, составляет три восьмых площади этого параллелограмма.
14) В данный треугольник АВС вписать параллелограмм АМКР (вершины М, К и Р лежат на сторонах АВ, ВС и АС) так, чтобы его площадь составляля одну треть от площади АВС.
15) На стороне треугольника отложены два равных отрезка, считая от соответствующих вершин этой стороны. Через полученные точки проведены прямые, параллельные соответствующим сторонам треугольника. Доказать, что построенные прямые пересекаются на медиане треугольника, проведенной к первоначально выбранной стороне.
16) В треугольнике АВС точки А1, В1, С1 являются основаниями медиан. Треугольники АВС и АВР лежат по разные стороны от стороны АВ. Доказать, что из трех треугольников АС1Р, СВ1Р и ВА1Р сумма площадей двух равна площади третьего.
17) Через каждую из вершин в треугольнике проведены две прямые, делящие противоположную сторону на три равные части. Доказать, что диагонали, соединяющие противоположные вершины шестиугольника, образованного этими шестью прямыми, пересекаются в одной точке.
18) Дан треугольник АВС и точки М и Н такие, что середина отрезка ВМ совпадает с серединой стороны АС, а середина отрезка СН – с серединой стороны АВ. Доказать, что точки М, Н и А лежат на одной прямой.
19) В треугольнике АВС проведены медианы АА1 и ВВ1 , которые пересекаются в точке М. В треугольнике АМВ проведена средняя линия РG. Доказать, что А1В1РG – параллелограмм.
20) Пусть А1, В1, С1 – произвольные точки сторон ВС, АС, и АВ треугольника АВС. Пусть А2, В2, С2 – точки, симметричные первым трем точкам относительно середин соответствующих сторон треугольника. Доказать, что треугольники А1В1С1 и А2В2С2 имеют равные площади.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.