Моделирование и анализ статических состояний. Задачи анализа статических состояний технических систем. Итерационный метод на примере метода Ньютона

МОДЕЛИРОВАНИЕ И АНАЛИЗ СТАТИЧЕСКИХ СОСТОЯНИЙ

1. Задачи анализа статических состояний технических систем

Для технических систем, инерционные элементы которых представляют собой сосредоточенные массы, выделяют две разновидности статических состояний: состояние покоя и состояние равномерного движения. Анализ этих состояний различается использованием разных фазовых переменных типа потока. При анализе равномерного движения используются базисные фазовые переменные, например, линейные или угловые скорости твердых тел или расходы жидкости. При анализе состояния покоя фазовыми переменными типа потока являются геометрические координаты, определяющие положение инерционных элементов в пространстве.

В процессе проектирования наиболее часто приходится решать следующие задачи статики:

- определение положений устойчивого равновесия системы;

- анализ распределения фазовых переменных типа потенциала и типа потока на установившихся равновесных режимах функционирования;

- определение начальных условий, необходимых для интегрирования системы дифференциальных уравнений при анализе стационарных режимов колебаний или стационарных случайных процессов (с целью исключения переходного процесса);

-определение начальных и конечных условий при оценке качества переходных процессов по переходным характеристикам и др.

Математическая модель статического состояния технического объекта представляет собой систему линейных или нелинейных алгебраических уравнений вида

                                                                                   (1)

где— вектор фазовых координат технической системы.

Систему (1) можно получить на основе исходной математической модели технической системы, представляющей собой на макроуровне систему обыкновенных дифференциальных уравнений

                                                                    (2)

в которой 

2. Численные методы решения систем алгебраических уравнений

Различают прямые и итерационные методы, решения систем алгебраических уравнений.

Рассмотрим итерационные методы.

Предположим, что для анализа статических состояний технической системы используется математическая модель, представляющая собой систему алгебраических уравнений (1).

Анализ статических состояний системы сводится к решению уравнений (1), т.е. к нахождению координат стационарной точки, удовлетворяющих этой системе уравнений. Обозначим точное решение этих уравнений

Итерационные численные методы решения системы уравнений (1) сводятся к нахождению последовательности векторов  , которая сходится к точному решению. При этом осуществляется переход из л-й точки фазового пространства переменных-ю точку. Векторназывают начальным приближением. Переход от очередного векторак вектору называют итерацией. Способ перехода определяется алгоритмом итерационного метода решения системы алгебраических уравнений.

Основные характеристики итерационных методов — сходимость итераций и скорость сходимости к точному решению. Они определяют алгоритмическую надежность, точность и экономичность методов.

Рассмотрим итерационный метод на примере метода Ньютона

Метод Ньютона обладает наибольшей скоростью сходимости среди практически применяемых методов. В методе Ньютона система    алгебраических уравнений  линеаризуется.

Алгоритм метода Ньютона включает следующие этапы:

1)  выбор начального приближения;

2)  вычисление матрицы Якоби в точке

3)  вычисление вектора невязокисходной системы алгебраических уравнений;

4)  решение системы линейных алгебраических уравнений:

и определение вектора поправок:

5)  определение нового приближения вектора искомых фазовых переменных V_k+l по формуле:

;

6)  вычисление нормы вектора невязок:

 и нормы вектора поправок

7) проверка   условий   окончания   итерационного   процесса.:

Если оба условия выполнены, процесс итераций можно остановить, приняв полученную точкув качестве точки решения, т.е.

Если одно из условий или оба не выполнены, осуществляется переход