Линейные операции над матрицами. Сложение (вычитание) матриц. Умножение матриц на число. Умножение матриц

Пусть имеется n-переменных величин и каждому вектору значений этих величин (х1, х2,…, хn) по некоторому закону соответствует определенное значение переменной Z. Тогда говорят, что задана функция n- переменных: Z= f (х1, х2, …хn), при n= 1 имеем функцию одной переменной. х1, х2, хn- независимые переменные или аргументы. Z- зависим. переем. или функция. f- знак функции, означает закон соответствия.

Функции нескольких переменных имеют область определения.

Пример: Z= 1/ √4-х₁²-х₂²

4- х₁²- х₂²>0

х₁²+х₂²<4

х₁²+х₂²<2²

Все точки внутреннего данного круга явл. областью определения функции. Точки на самой окружности отсутствуют.

57. Придел и непрерывность.

Пусть имеем Z= f (х, у), вводим понятие предела функции в некоторой точке Мо (хо, уо).

Определение: Число А называется приделом функции Z= f (х, у) в этой точке Мо (хо, уо), если малому E>0 соответствует ∆ Мо>0, что для всех точек с координатой Мо (х, у) из окрестности точки Мо для  которой выполняется неравенство ∆>p будет выполнятся неравенство: │f (х, у)- А│<E.

Непрерывность:Z= f (х, у) наз. непрерывной в точке  Мо (хо, уо), если она определена  в этой точке  и предел функции в этой точке = значению функции в этой точке.

ℓim f(x, y)= f (хо, уо)

х-х₀

у-у₀

 

 

58. Частные производные и полный дифференциал.

Пусть имеем функцию Z (х, у), дадим приращение ∆х аргументу х и ∆ у аргументу у. В результате получим полное приращение функции: ∆ Z= f (х + ∆х; у+∆у)-f( х,у).Частные приращения имеют следующий вид:

1.∆хZ= f (х + ∆х; у)- f (х, у) – частное приращение функции по переменной х.

∆уZ= f (x; у + ∆у) - f (х, у) – частное приращение функции по переменной у.

2. ∆хZ/ ∆х = f (х + ∆х; у)- f (х, у)/ ∆х

∆уZ/ ∆у = f (х; ∆у +у)- f (х, у)/ ∆у

3. переходим к пределу по соот. перемен, если этот предел сущ., то назовем его частной производной по соот. переменных.

ℓim ∆хZ/ ∆х = Z штрих по х= ðZ/ðх= ðf (х, у)/ ðх

∆х-0

ℓim ∆уZ/ ∆у = Z штрих по у= ðZ/ðу= ðf (х, у)/ ðу

∆х-0

Замечание! Фактически рассматриваются функции одной переменной. Сначала х, затем у.

Пример: Z= (arctg x)^{ln y}

ðZ/ðх= ln y (arctg x)^{ln y-1}×1/ 1+x²

ðZ/ðх=(arctg x)^ln× ln arctgx ×1/у

Полным дифференциалом назыв. dZ= ðZ/ dx + ðZ/ dy= Z штрих по х dx+ Z штрих по у dу. Первое слагаемое наз. частным диффер. ОХ, второе ОУ.

59. Производная по направлению.

Производной Z штрих по направлению ℓ функции Z= f (х, у) наз. предел отношения приращения функции в этом направлении ∆ _ℓ Z к величине перемещения ∆ _ℓ, если ∆ _ℓ-0, т. е. ℓim ∆ℓZ/ ∆ℓ = Z штрих е.

∆ _ℓ-0

Если направление ℓ параллельно оси х имеем придел:

ℓim f (х + ∆х; у)- f (х, у)/ ∆х= Z штрих х = ðZ / ðх

∆ _ℓ-0

Если направление ℓ параллельно оси ординат имеем придел:

ℓim f (х; ∆у +у)- f (х, у)/ ∆у= Z штрих у.

Легко показать, что Z штрих ℓ дает информацию о скорости, изменение функции в направлении ℓ. Очевидно следующее соотношение: Z штрих ℓ= Z штрих по х соs£+ Z штрих y cosβ- производная по направлению.

Производная по направлению равна скалярному произведению градиента на единичный вектор, т. е. Zi штрих= VZ×е вектор.

60. Градиент функции.

Пусть имеем функцию двух переменных. Пусть имеется некоторое направление ℓ, заданное единичным вектором. еˉ=(cos ₤, cosβ).

Пусть осуществляется движение из точки М в точку М₁. М(х, у), М₁ (х + ∆х; у + ∆у). Очевидно, следующее соотношение: ₤+β=П/2 или ₤+β= 3П/2. Очевидно, β=П/2-₤. Соs β= sin₤. еˉ (cos ₤, sin ₤), но cos² ₤+sin² ₤=1. Отсюда вектор е –единичный. cos ₤, cosβ- направляющиеся конусы вектора е с осями координат.

Если обозначить отрезок ММ₁=∆ ℓ, то очевидно, что приращение функции Z может быть записано: ∆ ℓZ=f (х + ∆х; ∆у +у)-f (x,y)= [∆х= ∆ ℓcos₤, ∆у= ∆ ℓcosβ]= f(x+∆ ℓ cos₤, у+

∆ ℓcosβ)- f (х, у).

∆ ℓZ- приращение функции в данном направлении ℓ.

Градиент функции Z=(х, у) наз. вектор. имеющий коэфф. Zх штрих и Zу штрих, т. е. VZ= (Zх штрих и Zу штрих). еˉ=(cos ₤, cosβ).

Градиент характеризует в данной точки направление максимальной скорости и изменение функции в этой точке.

41. Предел функции одной переменной в точке. Односторонние пределы функции одной переменной в точке, связь между односторонними пределами и пределом функции одной переменной в точке.

Число А наз. пределом функции f (х) в точке а, если для любой сходящейся к а последовательности х1, х2,…, хn. значений аргумента х, отличных от а соответствующая последовательность значений функции f(x1), f(x2),…f(xn) сходится к числу А.

Для обозначения предельного значения функции испол. след. символы: ℓim f (х) при х-а по определению = А. Это определение основано на понятии предела числовой последовательности и его называют пределом по Гейне.

Число А называется пределом функции f (х) в точке а, если для любого числа Е>0 сущ. такое число ∆>0, что для всех х принадлежащих х (из множества х) и отличных от х принад. а, удовлетворяющих неравенству │х-а│<∆ выполняется неравенство │f (x)-A│<E. Второе определение носит название предела по Каши.

Если при стремлении х и а переменная х принимает лишь значения, меньше а, или наоборот, лишь значения, больше а, и при этом функция f (х) стремится к некоторому числу А, то говорят об односторонних пределах функции f (х) соответственно слева и справа.

Функция приближена слева. Допустим предел равен А, следовательно, ℓim f (х) при х-х₀. Затем отрезок равен а₂. Предела в данной точки нет. Разрыв типа конечного скачка. А если бы а₁ и а₂ совпадали, то придел сущ.

42. Предел функции в бесконечность. Теоремы о пределах.

Число А наз. пределом функции у= f (х) при х, стрем. к бесконечности, если для любого, даже сеоль угодно малого полож. числа Е>0, найдется такое положительное число S>0, что для всех х таких, что │х│> S, верно неравенство: │f(x)-A│< E.

Придел функции f(х) в бесконечность обозначается ℓim f(x)=A.

х-∞

Теоремы: Предел элементарной функции в точке а, принадлеж