Пусть имеется n-переменных величин и каждому вектору значений этих величин (х1, х2,…, хn) по некоторому закону соответствует определенное значение переменной Z. Тогда говорят, что задана функция n- переменных: Z= f (х1, х2, …хn), при n= 1 имеем функцию одной переменной. х1, х2, хn- независимые переменные или аргументы. Z- зависим. переем. или функция. f- знак функции, означает закон соответствия.
Функции нескольких переменных имеют область определения.
Пример: Z= 1/ √4-х12-х22
4- х12- х22>0
х12+х22<4
х12+х22<22
Все точки внутреннего данного круга явл. областью определения функции. Точки на самой окружности отсутствуют.
57. Придел и непрерывность.
Пусть имеем Z= f (х, у), вводим понятие предела функции в некоторой точке Мо (хо, уо).
Определение: Число А называется приделом функции Z= f (х, у) в этой точке Мо (хо, уо), если малому E>0 соответствует ∆ Мо>0, что для всех точек с координатой Мо (х, у) из окрестности точки Мо для которой выполняется неравенство ∆>p будет выполнятся неравенство: │f (х, у)- А│<E.
Непрерывность:Z= f (х, у) наз. непрерывной в точке Мо (хо, уо), если она определена в этой точке и предел функции в этой точке = значению функции в этой точке.
ℓim f(x, y)= f (хо, уо)
х-х0
у-у0
58. Частные производные и полный дифференциал.
Пусть имеем функцию Z (х, у), дадим приращение ∆х аргументу х и ∆ у аргументу у. В результате получим полное приращение функции: ∆ Z= f (х + ∆х; у+∆у)-f( х,у).Частные приращения имеют следующий вид:
1.∆хZ= f (х + ∆х; у)- f (х, у) – частное приращение функции по переменной х.
∆уZ= f (x; у + ∆у) - f (х, у) – частное приращение функции по переменной у.
2. ∆хZ/ ∆х = f (х + ∆х; у)- f (х, у)/ ∆х
∆уZ/ ∆у = f (х; ∆у +у)- f (х, у)/ ∆у
3. переходим к пределу по соот. перемен, если этот предел сущ., то назовем его частной производной по соот. переменных.
ℓim ∆хZ/ ∆х = Z штрих по х= ðZ/ðх= ðf (х, у)/ ðх
∆х-0
ℓim ∆уZ/ ∆у = Z штрих по у= ðZ/ðу= ðf (х, у)/ ðу
∆х-0
Замечание! Фактически рассматриваются функции одной переменной. Сначала х, затем у.
Пример: Z= (arctg x)ln y
ðZ/ðх= ln y (arctg x)ln y-1×1/ 1+x2
ðZ/ðх=(arctg x)ln× ln arctgx ×1/у
Полным дифференциалом назыв. dZ= ðZ/ dx + ðZ/ dy= Z штрих по х dx+ Z штрих по у dу. Первое слагаемое наз. частным диффер. ОХ, второе ОУ.
59. Производная по направлению.
Производной Z штрих по направлению ℓ функции Z= f (х, у) наз. предел отношения приращения функции в этом направлении ∆ ℓ Z к величине перемещения ∆ ℓ, если ∆ ℓ-0, т. е. ℓim ∆ℓZ/ ∆ℓ = Z штрих е.
∆ ℓ-0
Если направление ℓ параллельно оси х имеем придел:
ℓim f (х + ∆х; у)- f (х, у)/ ∆х= Z штрих х = ðZ / ðх
∆ ℓ-0
Если направление ℓ параллельно оси ординат имеем придел:
ℓim f (х; ∆у +у)- f (х, у)/ ∆у= Z штрих у.
Легко показать, что Z штрих ℓ дает информацию о скорости, изменение функции в направлении ℓ. Очевидно следующее соотношение: Z штрих ℓ= Z штрих по х соs£+ Z штрих y cosβ- производная по направлению.
Производная по направлению равна скалярному произведению градиента на единичный вектор, т. е. Zi штрих= VZ×е вектор.
60. Градиент функции.
Пусть имеем функцию двух переменных. Пусть имеется некоторое направление ℓ, заданное единичным вектором. еˉ=(cos ₤, cosβ).
Пусть осуществляется движение из точки М в точку М1. М(х, у), М1 (х + ∆х; у + ∆у). Очевидно, следующее соотношение: ₤+β=П/2 или ₤+β= 3П/2. Очевидно, β=П/2-₤. Соs β= sin₤. еˉ (cos ₤, sin ₤), но cos2 ₤+sin2 ₤=1. Отсюда вектор е –единичный. cos ₤, cosβ- направляющиеся конусы вектора е с осями координат.
Если обозначить отрезок ММ1=∆ ℓ, то очевидно, что приращение функции Z может быть записано: ∆ ℓZ=f (х + ∆х; ∆у +у)-f (x,y)= [∆х= ∆ ℓcos₤, ∆у= ∆ ℓcosβ]= f(x+∆ ℓ cos₤, у+
∆ ℓcosβ)- f (х, у).
∆ ℓZ- приращение функции в данном направлении ℓ.
Градиент функции Z=(х, у) наз. вектор. имеющий коэфф. Zх штрих и Zу штрих, т. е. VZ= (Zх штрих и Zу штрих). еˉ=(cos ₤, cosβ).
Градиент характеризует в данной точки направление максимальной скорости и изменение функции в этой точке.
41. Предел функции одной переменной в точке. Односторонние пределы функции одной переменной в точке, связь между односторонними пределами и пределом функции одной переменной в точке.
Число А наз. пределом функции f (х) в точке а, если для любой сходящейся к а последовательности х1, х2,…, хn. значений аргумента х, отличных от а соответствующая последовательность значений функции f(x1), f(x2),…f(xn) сходится к числу А.
Для обозначения предельного значения функции испол. след. символы: ℓim f (х) при х-а по определению = А. Это определение основано на понятии предела числовой последовательности и его называют пределом по Гейне.
Число А называется пределом функции f (х) в точке а, если для любого числа Е>0 сущ. такое число ∆>0, что для всех х принадлежащих х (из множества х) и отличных от х принад. а, удовлетворяющих неравенству │х-а│<∆ выполняется неравенство │f (x)-A│<E. Второе определение носит название предела по Каши.
Если при стремлении х и а переменная х принимает лишь значения, меньше а, или наоборот, лишь значения, больше а, и при этом функция f (х) стремится к некоторому числу А, то говорят об односторонних пределах функции f (х) соответственно слева и справа.
Функция приближена слева. Допустим предел равен А, следовательно, ℓim f (х) при х-х0. Затем отрезок равен а2. Предела в данной точки нет. Разрыв типа конечного скачка. А если бы а1 и а2 совпадали, то придел сущ.
42. Предел функции в бесконечность. Теоремы о пределах.
Число А наз. пределом функции у= f (х) при х, стрем. к бесконечности, если для любого, даже сеоль угодно малого полож. числа Е>0, найдется такое положительное число S>0, что для всех х таких, что │х│> S, верно неравенство: │f(x)-A│< E.
Придел функции f(х) в бесконечность обозначается ℓim f(x)=A.
х-∞
Теоремы: Предел элементарной функции в точке а, принадлеж
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.