принадлежащей ее области определения равен значению данной ф-ии в рассматриваемой точке
limf(x)- f(a).
х→а
Теорема: если предел f(U)=А limU(x)=U0,
U→U0 U→х0
то предел сложной ф-ии
lim f(U(x))= lim f(U)=A
х→а U→U0
Пример: Найти lim (x3+3x2+2)= lim x3+lim3x3+lim2=
х-2 х-2 х-2 х-2
lim x3+3lim x2+2= 22+3×22+2=22
Пример2: lim(7-2x)×(3+5x2)=(7-2×2)×(3+5×22)=69
Первый замечательный предел:
Если ∟U выражен в радианах, то lim= sinU÷U=1,
U→0
lim U÷sinU=1
U→0
Пример: lim sin5x÷x=lim 5sin5x÷5x=5
Второй замечательный предел:
lim(1+1 ∕U)U= lim(1+λ)1∕ λ=e
U→ ∞ λ→0
Пример:
45 Непрерывность ф-ии одной переменной.
Определение1: Ф-ия f(x) называется непрерывной в т.х0, если она удовлетворяет следующим трем условиям:
Определена в точке х0, т.е. существует f(х0)
Имеет конечный предел ф-ии при х→х0
Этот предел равен значению ф-ии в т. х0, т.е. limf(x)= f(x0)
Пример: 1)Исследовать непрерывность в т. х=0 в следующих ф-ях.
у=1∕х В точке х=0-- ф-ия не является непрерывной, т.к. нарушено условие 1 определения.
у={х+1, х≥0 1) Первое условие определения выполняется
{х-1, х<0 2) Второе условие не выполняется, т.к. в т.х=0 существует только односторонние пределы.
limf(x)=-1 limf(x)=1 Общего предела не сущ.
x→0ˉ x→0+
2.{х2, при х≠0 1) f(0)=1
{1, при х≠0 2) В этой точке должен быть предел. limf(x)= limx x→0 - x→0+
lim f(x)=limx2=0 lim f(x)=limx2=0
x→0+ x→0+ x→0 - x→0+ Т.е предел в этой точке существует.
3)Третьене выполняется, т.к. f(0)=1 limf(x)=0 limf(x)≠ f(0) x→0
3) у=х2
Все условия определения выполняются =>данная ф-ии непрерывна в т. х=0. Непрерывность ф-ии в данной точке выражается непрерывностью ее графиков при прохождении данной точки.
Рассмотрим еще одно определение непрерывности, дадим аргументу х0 приращение Δх. Тогда ф-ия у=f(x) получит приращение Δу=f(x0+Δx)-f(x0).
Определение2: Ф-ия y=f(x) называется непрерывной в т. х0, если она определена в этой точке и бесконечно большому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение ф-ии: limΔy=0
Δx→0
№46 Св-ва ф-ии одной переменной, непрерывных в точке. Теорема о непрерывности элементарной ф-ии.
Теорема 1: Если ф-ия f(x) и g(x) непрерывны в точке х0, то f(x)+g(x), f(x)×g(x), f(x) ∕g(x) (при f(x)≠0) так же будут непрерывны в т. х0.
Теорема 2: Если ф-ия y=f(x) непрерывна в т.х0 и f(x)>0, то существует такая окресность в т.х0 в которой f(x)=0
Теорема 3: Если ф-ия y=f(u) непрерывна в т.u0, а ф-ия u=f(x) непрерывна в т. u0=g(x0), то сложная ф-ия непрерывна в т. х0 y-f [g(x)]
Определение: ф-ия y=f(x) называется непрерывной на промежутке х, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.
№47 Точки разрыва ф-ии одной переменной. Их классификация.
Определение1: Точка х0 называется точкой разрыва ф-ии f(x), если эта ф-ия в данной точке не является непрерывной.
Определение2: Точка х0 называется точкой разрыва первого рода, если существуют односторонние пределы ф-ии слева и справа не равные друг другу.
Определение3: Точка х0 называется точкой разрыва второго порядка, если хотя бы один из односторонних пределов слева или справа равен бесконечности или не существует.
№48 Числовая последовательность: определение, примеры, предел числовой последовательности, св-ва сходящихся последовательностей.
Числовая последовательность. Пусть N— множество натуральных чисел. Если каждому натуральномучислу n поставлено в соответствие некоторое число хnто говорят, чтоопределена числовая последовательность х1,х2,..., хп , … . Числа хn, п єN называют элементами или членами последовательности.
Последовательности {хn+yn}, {xn-yn}, {xnyn},{xn ∕ yn}называются соответственно суммой, разностью, произведением и частным двух последовательностей {xn} и {yn}.
Последовательность {xn}называется ограниченной, если существует такое число М>0, что для любого п є Nвыполняется неравенство |xn|≤М.
Последовательность называется неограниченной, если существует такое число М>0, что для любого n є N выполняется неравенство |xn|>M
Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, а последовательность, не имеющая предела - расходящейся.
Пример сходящейся последовательности:
Бесконечно малая последовательность {xn}, а=0. Если последовательность {xn} есть бесконечно большая последовательность, то пишут limxn=∞
n→∞
Св-ва сходящихся последовательностей:
1.Для того, чтобы последовательность {xn} имела своим пределом число а , необходимо и достаточно, что бы последовательность {xn-a} была бесконечно малой.
2.Сходящаяся последовательность имеет только один предел.
3. Сходящаяся последовательность ограничена.
4.Пусть limxn=a и limyn=b, тогда а)lim(xn±yn)=a±b б) limxnyn=ab в)limxn ∕yn=a ∕bвезде n-∞
№49 Производная ф-ии одной переменной в точке: определение, геометрический, физический, экономический смыслы. Построение ф-ии производной от данной ф-ии одной переменной.
Производной функции у = f(х) в точке х = а называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента при стремлении последнего к нулю.
f΄(a)= lim f(a+Δx)-f(a) ∕Δx
Операцию нахождения производной называют дифференцированием.
Геометрический смысл производной.
Итак, геометрический смысл производной функции состоит в том, что производная функции у=f(х) в точке x= х0 есть тангенс угла наклона касательной к ее графику в точке (х0 ;f(x0 )). Другими словами,f΄(х0) есть угловой коэффициент касательной к графику функции к точке М(х0; у0). Поэтому уравнение касательной имеет вид:
y-y0=f ' (х0) (х-х0 ). Прямая, проходящая через точку (х0; f(х0)) и перпендикулярная касательной, называется нормалью к графику в этой точке. Учитывая условие перпендикулярности двух прямых, можем записать уравнение нормали:
y-y0=-1÷ (f΄(x0))×(x-x0)
Если же f΄(x0)=0, то нормалью будет прямая х=х0
Физический смысл производной.
Пусть некоторая материальная точка М движется прямолинейно и задан закон ее движения s = s(t), т.е. известно расстояние s(t) от точки М до некоторой начальной точки
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.