Построение планов эксперимента первого порядка. Схема расположения опытных точек на факторной плоскости

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ

УНИВЕРСИТЕТ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

к выполнению лабораторных работ

 по дисциплине

«Основы научных исследований»

для студентов специальности

290700 (270109) «Теплогазоснабжение и вентиляция»

Ставрополь, 2011

Методические указания к выполнению лабораторных работ составлены в соответствии с требованиями ГОСВПО, рабочих учебных планов специальности 290700 (270109) «Теплогазоснабжение и вентиляция» и программы дисциплины  «Основы научных исследований».

Составитель:     

Рецензент:          

Лабораторная работа № 1

ПОСТРОЕНИЕ ПЛАНОВ ЭКСПЕРИМЕНТА ПЕРВОГО ПОРЯДКА

1.1 Цель и содержание

Получение практических навыков в построении матриц планов эксперимента первого порядка и расчетах коэффициентов уравнений линейной регрессии.

Для достижения цели необходимо:

1. Освоить принципы построения матриц планов эксперимента на основе варьирования факторов на двух уровнях: верхнем и нижнем.

2. Изучить технику кодирования факторов с целью перевода их в безразмерную унифицированную форму.

3. Освоить алгоритм определения  количественных характеристик кодированных факторов.

1.2 Теоретическое обоснование

В общем случае зависимая переменная (у) является функцией совокупности независимых факторов (х₁, х₂, х₃ и т.д.), каждый из которых имеет свою область изменения. Если число независимых факторов равно (n), то искомая функция (y), зависимая переменная, отображается в пространстве (n+1) – го измерения.

План эксперимента указывает расположение опытных точек на n-мерной факторной поверхности независимых переменных, или, иными словами, условия всех опытов, которые следует провести.

Так например, если число факторов равно двум, то графическая зависимость отображается в объеме: y = f(x₁, х₂).

В этом трехмерном пространстве зависимости (Y) от всех (Х) соответствует трехмерная поверхность, которую обычно называют поверхностью отклика.

Результаты опытов рассматривается как отклик системы на условия расстановки опытов по координатной сетке факторной плоскости.

       y = f(x₁, х₂) – пространство третьего измерения

 

Чаще всего план эксперимента задается в виде матрицы планирования, которая представляет собой прямоугольную таблицу, каждая строчка которой отвечает условиям определенного опыта, а каждый столбец – различным значениям какой-то из независимых переменных в разных опытах.

При построении планов стремятся к их оптимизации. Сущность оптимизации состоит в следующем:

– при заданном числе опытов желательно получить максимальную точность предсказания (минимальную дисперсию) исследуемой области;

– обеспечить требуемую (заданную) точность предсказания минимальных чисел опытов;

– обеспечить независимость (некоррелированность) оценок влияния различных определяющих факторов (Х₁, Х₂, …, Х_n).

Опыт показывает, что не всегда удается совместить в одном плане все желаемые свойства.

Планы первого порядка служат для построения математических описаний в виде линейных полиномов (линейных уравнений регрессии):

                     Y = b_o + b₁·x₁ + b₂·x₂ + … + b_n·x_n   .                                (1.1)

Порядок построения плана следующий.

Выбирается центр исследования области (центр плана) и в него переносится начало координат. Затем выбирается интервал варьирования по каждой переменной – расстояние по каждой оси между экспериментальными точками. Необходимо ответить, что выбор центра плана и интервала варьирования лежит вне математической теории: этот этап задачи должен решаться экспериментатором на основе знания объекта исследования. 

На следующем этапе производят операцию приведения (кодирования) переменных. Она заключается в том, что все координаты центра плана приравниваются к нулю, а интервалы варьирования принимаются за единицу.

Кодирование удобно тем, что вся обработка результатов опытов приводится в стандартной форме, не зависящей от конкретных условий задачи. Это существенно упрощает вычисления.

Все многообразие независимых определяющих факторов (скорость, вес, расход и т.д.) приводится к единой форме (в центре плана они равны нулю), а интервал варьирования любого фактора принимают равным  ± 1.

Переход от некодированных (натуральных) значений переменных (u_ji) к кодированным (x_ji) и обратно производится по формулам:

                                       ;                                               (1.2)

                                        u_ji = u_jo + x_ji × Dj ,                                           (1.3)

где     x_ji – натуральное значение   j – го фактора в i –м опыте;

u_jo – натуральное значение   j – го фактора в центре плана;

Dj – интервал варьирования j – го фактора в натуральном выражении