Информатика и выч. техника \ Идентификация и диагностика систем управления

Моделирование случайных факторов. Моделирование генерации нормально-распределенных чисел для значений математического ожидания и дисперсии

Страницы работы

22 страницы (Word-файл)

Скачать файл

Фрагмент текста работы

Санкт-Петербургский государственный политехнический университет

Факультет технической кибернетики

Кафедра автоматики и вычислительной техники

ОТЧЕТ

по лабораторной работе №1

Дисциплина: идентификация и диагностика систем управления

Тема: моделирование случайных факторов.

Вариант: 22

Выполнил студент гр. 5081/11

Проверил:

Санкт-Петербург

2010

Задание

1. Провести моделирование генерации нормально-распределенных чисел для следующих значений математического ожидания и дисперсии:

математическое ожидание	0	0	1
дисперсия	1	4	4

Выяснить зависимость оценок (точечных и интервальных) математического ожидания и дисперсии от объема выборки () при доверительном уровне .

2. Определить объемы выборки, необходимые для получения доверительного интервала математического ожидания, равного 0,1 при доверительном уровне . Провести моделирование для полученного значения объема выборки.

3. Провести моделирование генерации вектора нормально-распределенных чисел при размерности 2 и нулевом математическом ожидании для следующих значений корреляционных матриц:

, , , .

Построить оценки заданной корреляционной матрицы и выяснить зависимость оценок от объема выборки.

Построить доверительные интервалы для оценки коэффициента корреляции в зависимости от объема выборки , при доверительном уровне .

4. Провести моделирование генерации случайного процесса, представленного уравнением авторегрессии 1 порядка. Определить оценку коэффициента авторегрессии для случаев из таблицы вариантов.

5. Для каждого коэффициента авторегрессии определить коэффициент авторегрессии для получения процесса авторегрессии 2 порядка, исходя из условия стационарности случайного процесса.

6. Провести моделирование генерации случайного процесса, представленного уравнением авторегрессии 2 порядка. Определить оценку коэффициентов авторегрессии и .

7. Сформулировать выводы о проделанной работе, оформить отчет.

Вариант
22	0,2	0,15	0,6

1. Моделирование генерации нормально-распределенных чисел.

Точечные оценки случайной выборки - медиана, отклонение (девиация), оценка математического ожидания и дисперсии (среднеквадратического отклонения ):

Интервальные оценки:

Оценка доверительного интервала для математического ожидания:

– -процентный квантиль распределения Стьюдента с степенями свободы.

– объем выборки

Q – доверительная вероятность.

Оценка доверительного интервала для дисперсии:

– -процентный квантиль распределения Хи-квадрат с степенями свободы.

1.1. Моделирование генерации нормально-распределенных чисел

1_1.m

clear all;

M = 0; %0 0 1

D = 1; %1 4 4

N = 10; %10 20 50 100 1000

t = 0:0.01:N;

x = normrnd(M, D, 1, N);

MTmp = mean(x);

DTmp = std(x);

figure

plot(x,'k')

hold on

grid on

figure

hist(x,1000)

grid on

1.2. Выяснение зависимости оценок (точечных и интервальных) математического ожидания и дисперсии от объема выборки () при доверительном уровне .

1_2.m

clear all;

N = [10,20,50,100,1000];

M = 0; % 0 0 1

D = 1; % 1 4 4

q = [0.9, 0.95];

aver = zeros(1,5);

dev = zeros(1,5);

for i=1:5

x = normrnd(M,D,1,N(i));

aver(i) = mean(x);

dev(i) = std(x);

end

% матрицы для доверительных интервалов

M9 = zeros(2,5);

M95 = zeros(2,5);

hold on

for i=1:5

M9(1,i) = aver(i)-tinv((1+q(1))/2, N(i)-1)*dev(i)/sqrt(N(i));

M9(2,i) = aver(i)+tinv((1+q(1))/2, N(i)-1)*dev(i)/sqrt(N(i));

M95(1,i) = aver(i)-tinv((1+q(2))/2, N(i)-1)*dev(i)/sqrt(N(i));

M95(2,i) = aver(i)+tinv((1+q(2))/2, N(i)-1)*dev(i)/sqrt(N(i));

end

D9 = zeros(2,5);

D95 = zeros(2,5);

hold on

for i=1:5

D9(1,i) = sqrt((dev(i)^2)*(N(i)-1)/chi2inv((1+q(1))/2,N(i)-1));

D9(2,i) = sqrt((dev(i)^2)*(N(i)-1)/chi2inv((1-q(1))/2,N(i)-1));

D95(1,i) = sqrt((dev(i)^2)*(N(i)-1)/chi2inv((1+q(2))/2,N(i)-1));

D95(2,i) = sqrt((dev(i)^2)*(N(i)-1)/chi2inv((1-q(2))/2,N(i)-1));

end

disp('N: 10 20 50 100 1000');

disp(' ');

disp('Интервальная оценка мат. ожидания:');

disp('q = 0.9');

disp(M9);

disp('q = 0.95');

disp(M95);

disp('Интервальная оценка дисперсии:');

disp('q = 0.9');

disp(D9);

disp('q = 0.95');

disp(D95);

disp('Точечная оценка мат. ожидания:');

disp(aver);

disp('Точечная оценка дисперсии:');

disp(dev);

plot(N, M9(1,:),'ko',N, M95(1,:),'r*', N, aver, 'b+', N, M9(2,:),'ko', N, M95(2,:),'r*',[10,1000],[M,M]);

xlabel('n');

ylabel('M');

legend('Интервальная оценка мат. ожидания, q = 0.9','Интервальная оценка мат. ожидания, q = 0.95', 'Точечная оценка мат. ожидания');

figure

plot(N, D9(1,:),'ko',N, D95(1,:),'r*', N, dev,'b+', N, D9(2,:),'ko',N, D95(2,:),'r*',N,dev,'b+',[10,1000],[D,D]);

xlabel('n');

ylabel('D');

legend('Интервальная оценка дисперсии, q = 0.9','Интервальная оценка дисперсии, q = 0.95', 'Точечная оценка дисперсии');

Рис. 1.2.1. Оценка математического ожидания для различных выборок при (0,1).

Рис. 1.2.2. Оценка дисперсии для различных выборок при (0,1).

N: 10 20 50 100 1000

Интервальная оценка мат. ожидания:

q = 0.9

-0.6063 -0.0612 -0.2817 -0.2130 -0.0817

0.2088 0.5852 0.1709 0.1255 0.0233

q = 0.95

-0.7017 -0.1292 -0.3267 -0.2460 -0.0917

0.3042 0.6533 0.2158 0.1585 0.0334

Интервальная оценка дисперсии:

q = 0.9

0.5128 0.6637 0.8202 0.9137 0.9727

1.1567 1.1456 1.1469 1.1555 1.0470

q = 0.95

0.4836 0.6357 0.7972 0.8950 0.9660

1.2836 1.2210 1.1893 1.1842 1.0546

Точечная оценка мат. ожидания:

-0.1987 0.2620 -0.0554 -0.0438 -0.0292

Точечная оценка дисперсии:

0.7031 0.8360 0.9544 1.0194 1.0084

Рис. 1.2.3. Оценка математического ожидания для различных выборок при (0,4).

Рис. 1.2.4. Оценка дисперсии для различных выборок при (0,4).

N: 10 20 50 100 1000

Интервальная оценка мат. ожидания:

q = 0.9

-1.8418 -2.0310 -1.2738 -0.4313 -0.2763

1.9332 0.6347 0.4194 0.8533 0.1437

q = 0.95

-2.2836 -2.3115 -1.4420 -0.5566 -0.3166

2.3750 0.9152 0.5876 0.9786 0.1840

Интервальная оценка дисперсии:

q = 0.9

2.3748 2.7368 3.0687 3.4673 3.8906

5.3570 4.7241 4.2909 4.3850 4.1878

q = 0.95

2.2397 2.6216 2.9827 3.3964 3.8640

5.9444 5.0349 4.4495 4.4938 4.2183

Точечная оценка мат. ожидания:

0.0457 -0.6981 -0.4272 0.2110 -0.0663

Точечная оценка дисперсии:

3.2561 3.4472 3.5706 3.8684 4.0333

Рис. 1.2.5. Оценка математического ожидания для различных выборок при (1,4).

Рис. 1.2.6. Оценка дисперсии для различных выборок при (1,4).

N: 10 20 50 100 1000

Интервальная оценка мат. ожидания:

q = 0.9

-1.6790 -0.1095 -0.2763 -0.0866 0.7317

1.9820 2.3361 1.4110 1.3084 1.1507

q = 0.95

-2.1074 -0.3668 -0.4439 -0.2226 0.6915

2.4104 2.5934 1.5786 1.4444 1.1909

Интервальная оценка дисперсии:

q = 0.9

2.3031 2.5108 3.0582 3.7652 3.8816

5.1951 4.3340 4.2762 4.7617 4.1781

q = 0.95

2.1720 2.4051 2.9724 3.6882 3.8550

5.7648 4.6191 4.4342 4.8798 4.2085

Точечная оценка мат. ожидания:

0.1515 1.1133 0.5673 0.6109 0.9412

Точечная оценка дисперсии:

3.1578 3.1625 3.5584 4.2007 4.0240

2. Определение объема выборки, необходимого для получения доверительного интервала математического ожидания, равного 0,1 при доверительном уровне .

Объем выборки для оценки математического ожидания:

clc

q=[0.9, 0.95];

X_9=zeros(2,1);

X_95=zeros(2,1);

M=0;

D=1;

h=0.1;

n1 = 1057;

n2 = 1480;

n_90_min=(D/(h/2)^2)*(1.282)^2

n_90 = n1

x = normrnd(M,D,1,n1);

Xsr=mean(x);

S2=std(x)^2;

X_9_l = Xsr-tinv((1+q(1))/2, n1-1)*S2/sqrt(n1);

X_9_h = Xsr+tinv((1+q(1))/2, n1-1)*S2/sqrt(n1);

interval_90=X_9_h-X_9_l

n_95_min=(D/(h/2)^2)*(1.645)^2

n_95 = n2

x=normrnd(M,D,1,n2);

Xsr=mean(x);

S2=std(x)^2;

X_95_l = Xsr-tinv((1+q(2))/2, n2)*S2/sqrt(n2);

X_95_h = Xsr+tinv((1+q(2))/2, n2)*S2/sqrt(n2);

interval_95=X_95_h-X_95_l

n_90_min = 657.4096

n_90 =1057

interval_90 = 0.1005

n_95_min = 1.0824e+003

n_95 =1480

interval_95 = 0.1045

Рис. Моделирование для полученных значений выборки

, , , .

Построить оценки заданной корреляционной матрицы и выяснить зависимость оценок от объема выборки.

r = 0,2

Многомерное нормальное распределение вектора:

где m_i – математическое ожидание х_i,

С – ковариационная матрица

Двумерное нормальное распределение:

Распределение моделируется с помощью линейного преобразования Х=Аy+m_x; А определяется условием С=А*А^Т, где А – нижнетреугольная матрица.

В Matlab определение А производится на основе разложения Хорецкого с помощью функции R = chol(r), дающей значение матрицы А – верхнетреугольной матрицы.

Приближенный доверительный интервал для коэффициента корреляции двумерного нормального распределения, коэффициент корреляции неизвестен.

– оценка .

– -процентный квантиль нормального распределения.

3.m

clear all

r = -0.82; % 0 0.18 0.82 -0.82

R = [1,r;r,1];

N = [10,20,50,100,1000];

a = [0.9,0.95];

R9 = zeros(2,5);

R95 = zeros(2,5);

r_coeff = zeros(1,5);

q1 = chol(R);

q = q1';

for i=1:5

z1 = zeros(N(i),2);

z2 = z1;

for j=1:N(i)

x1 = randn(2,1);

z1(j,:) = x1';

x2 = q*x1;

z2(j,:) = x2';

end

r2 = cov(z2);

KK = r2(1,2)/sqrt(r2(1,1)*r2(2,2));

r_coeff(i) = KK;

z = 1/2*log((1+KK)/(1-KK));

d = norminv((1+a(1))/2)*sqrt(1/(N(i)-3));

R9(1,i)=(exp(2*z-2*d)-1)/(exp(2*z-2*d)+1);

R9(2,i)=(exp(2*z+2*d)-1)/(exp(2*z+2*d)+1);

d = norminv((1+a(2))/2)*sqrt(1/(N(i)-3));

R95(1,i)=(exp(2*z-2*d)-1)/(exp(2*z-2*d)+1);

R95(2,i)=(exp(2*z+2*d)-1)/(exp(2*z+2*d)+1);

end

disp('N: 10 20 50 100 1000');

disp(' ');

disp('Интервальная оценка коэффициента корреляции:');

disp('q = 0.9');

disp(R9);

disp('q = 0.95');

disp(R95);

disp('Точечная оценка коэффициента корреляции:');

disp(r_coeff);

plot(N, R9(1,:),'ko',N, R95(1,:),'r*', N, r_coeff, 'b+', N, R9(2,:),'ko', N, R95(2,:),'r*',[10,1000],[r,r]);

legend('Интервальная оценка коэффициента корреляции, q = 0.9','Интервальная оценка коэффициента корреляции, q = 0.95', 'Точечная оценка коэффициента корреляции');

xlabel('n');

ylabel('R');

figure('color', 'white')

plot(z1(1:1000,1), z1(1:1000,2),'ro')

figure('color', 'white')

plot(z2(1:1000,1), z2(1:1000,2),'bo')

r = 0