Численное моделирование электродинамических процессов и систем на базе пакета XFDTD 6.0. Метод конечных разностей во временной области в решении задач прикладной электродинамики

ЛАБОРАТОРНАЯ  РАБОТА № 4

Численное моделирование электродинамических процессов и систем

на базе пакета XFDTD 6.0

Цели работы:

·  знакомство с методом конечных разностей во временной области и особенностями его использования для решения задач прикладной электродинамики;

·  знакомство с современными технологиями численного моделирования электродинамических устройств  на базе метода конечных разностей во временной области;

·  освоение технологии вычислительного эксперимента в среде пакета XFDTD 6.0.

Метод конечных разностей во временной области  в решении задач прикладной электродинамики

Для решения широкого класса задач прикладной электродинамики в последние годы получил распространение метод конечных разностей во временной области (FD-TD). Он характеризуется высокой вычислительной эффективностью, универсальностью, простотой задания исходных данных, возможностью моделирования электромагнитных процессов с произвольной временной зависимостью для произвольных типов источников.

Метод FD-TD  сводится к прямому решению системы уравнений Максвелла

                                              (1)

В рамках метода FD-TD система уравнений (1)  решается с использованием алгоритма  Yee. Для этого осуществляется  переход от пространственно непрерывной задачи к дискретной  путем введения для каждой из шести компонент электромагнитного поля () своей пространственной сетки, каждая из которых сдвинута относительно других на половину пространственного периода. Электрические и магнитные компоненты электромагнитного поля сдвинуты на половину временного шага. C использованием конечноразностной аппроксимации пространственных и временных частных производных система уравнений Максвелла (1) сводится к системе рекуррентных соотношений вида:

         (2)

Соотношения (2) позволяют на каждом временном шаге производить пересчет  компонент электромагнитного поля для внутренних узлов сетки, по их значениям в предшествующий момент времени.     Для определения компонент электромагнитного поля на границах пространственных сеток используются специальные "поглощающие" условия, обеспечивающие отсутствие отражения  волн от внешних границ сетки. Поглощающие условия реализованы в виде  соотношений, связывающих значения полей на границе сетки со значениями компонент электромагнитного поля во внутренних областях.  Существуют различные алгоритмы реализации "поглощающих" условий, различающихся точностью и вычислительной эффективностью. В последние годы наиболее широко используются поглощающие условия в виде идеально согласованного слоя (PML). Минимизация отражения в широком угловом и частотном диапазонах достигается за счет размещения на периферии сеток поглощающих слоев из анизотропного материала со специальными электромагнитными свойствами.

Исходные данные для решаемой задачи формируются путем задания значений материальных параметров  во всех узлах пространственных  сеток.

Сторонние источники электромагнитного поля с гармонической временной зависимостью формируются с помощью соотношений

                                  (3)

где   и   - эквивалентные электрические и магнитные токи, определяемые  согласно принципу эквивалентных источников  по формулам

                                                        (4)

Для моделирования гармонических временных процессов в начальный момент времени считается, что компоненты поля во всех узлах пространственных сеток равны нулю. Временной процесс продолжается до полного установления комплексных амплитуд компонент электромагнитного поля. Количество временных шагов зависит от размеров пространственной сетки и добротности системы.

Периоды пространственной сетки  и  временной шаг  выбираются из требований обеспечения устойчивости вычислительного процесса и требуемой точности аппроксимации конструктивных элементов, входящих в состав решаемой задачи.

Использование описанной выше методики позволяет определять распределение поля в ближней зоне. Для расчета поля в дальней зоне можно воспользоваться методом эквивалентных источников. С этой целью на сетке выбирается контур (двухмерная задача) или поверхность (трехмерная задача), внутри которых находится объект рассеяния или первичные источники (антенная задача). В случае плосковолнового  возбуждения эти контур или поверхность должны располагаться в области рассеяния. На выбранных таким образом границах вводятся эквивалентные электрические и магнитные токи. Согласно методу эквивалентных источников с учетом принятых обозначений поле в дальней зоне для трехмерного случая может быть рассчитано по формулам:

,

, где

Вектор-потенциалы электромагнитного поля в дальней зоне имеют вид:

где - угловые координаты, задающие направления   наблюдения.

Для расчета эффективной поверхности рассеяния можно воспользоваться соотношением

где  - компоненты падающей плоской электромагнитной волны.

Для двухмерных задач поле в дальней зоне может быть рассчитано по формулам:

где

Эффективная поверхность рассеяния единицы длины цилиндрического рассеивателя  определяется из соотношения:

Метод FD-TD позволяет решать электродинамические задачи во временной области при произвольной временной зависимости источников. Использование преобразования Фурье позволяет определить характеристики исследуемых процессов и систем во временной области.