Определение функциональной зависимости R = f(t) по измеренным значениям температуры и электрического сопротивления проводника

ЗАДАЧА № 4

Цель работы: По измеренным значениям температуры и электрического сопротивления проводника определить функциональную зависимость R = f(t).

При установлении функциональной зависимости между двумя величинами может быть использован метод наименьших квадратов. В этом методе оценки параметров зависимости определяют из условия, что сумма квадратов отклонений расчетных значений аппроксимирующей функции от экспериментальных значений должна быть минимальной.

Теоретическая зависимость R_t = f(t) имеет вид:

R_t = R_o(1 + a t) ,                                                   (1)

где R_o – значение сопротивления проводника при 0 ^оС; a ‑ температурный коэффициент сопротивления проводника; t – температура.

Преобразуем (1) к виду

R_t = A + Bt ,                                                     (2)

где А = R_o; В = R_o a. График функции у = А + Вх ‑ прямая линия с наклоном В, пересекающая ось ординат в точке А (рис.1).

 

Рис.1 График линейной зависимости.

Экспериментальные точки в общем случае должны находиться в поле прямоугольника со сторонами, соответствующими интервалам, в которых находятся значения x_i и y_i (Dх и Dу).

При использовании метода наименьших квадратов предполагается, что:

-  значения аргумента x_i известно точно;

-  все поправки на известные систематические эффекты введены, неопределенность определения значения y_i зависит только от случайных эффектов (возмущающих факторов).

Выражения для расчета оценок постоянных:

                              (3)

                                    (4)

                                               (5)

m – число точек, полученных при измерении.

Постоянные А и В определяются с некоторой неопределенностью. Мерой этой неопределенности является стандартное отклонение.

Для постоянной А:

                                                   (6)

Для постоянной В:

                                                      (7)

Стандартное отклонение, характеризующее неопределенность, с которой определяются значения y_i, определяется согласно выражению:

                                    (8)

В результате измерений получены следующие данные

t, oC	10	20	30	40
Rt, Ом	10,3	10,9	11,3	11,6

1. Согласно (3‑5) и с учетом (2) вычисляются значения А и В;

2. Согласно (6,7) вычисляются значения S_A, S_B;

3. Значение S_R вычисляется согласно (8)

3.3. Рисуется график, на котором строится зависимость R_t = A + Bt, а также указываются полученные экспериментально точки и интервалы, в которых находятся значения R_ti.

3.4. Выражение R_t = A + Bt приводится к виду R_t = R_o(1 + a t).

Вычисления провести “В ручную” и с использованием Microsoft Office Excel. Сделать выводы с точки зрения метрологической аттестации разработанного ПО на основе Excel.

Решение

1. Вычислим значения А и В согласно (3-5):

                           

                                  

2.  Согласно (6,7) вычислим стандартное отклонение для значении А и В:

S_A=0,131339;  S_B=0,004796;  S_y=0,107238

3. Построим график зависимости R_t = A + Bt (рис.2), указав полученные экспериментально точки и интервалы:

Рис. 2. График зависимости R_t = A + Bt

4. Выражение R_t = A + Bt приведем к виду R_t = R_o(1 + a t).

Где R_o=А; a=В/R₀, А=9,95; В=0,043:

R_t=9,95(1+0,043/9,95t)

R_t=9,95(1+0,0043t).