Исходные представления гидрогеодинамики. Основы гидравлики. Гидродинамический напор. Режимы движения жидкости, страница 4

Эти два уравнения можно написать через одно совместное уравнение, используя понятие коэффициента упругоемкости (42).

(43)

Дифференциальное уравнение неразрывности

Отражает условие сохранения массы жидкости. Для вывода уравнения неразрывности рассмотрим некоторый элементарный кубик

(р8)

Рассмотрим баланс воды в этом кубике. Пусть в кубик через заднюю грань поступает масса жидкости, а через переднюю грань уходит масса жидкости (44). Разница поступившей в кубик воды и вытекшей из него в направлении оси х обозначим через  (45). Аналогично по двум другим направлениям получим (46) и (47). В результате из-за этой разности притока и оттока в кубике будет или накапливаться вода, или уходить из него. Масса этой воды dM. Тогда можно записать суммарное уравнение

(48)

Далее выполним некоторые преобразования – перейдем от масс к другим составляющим, а именно воспользуемся размерами (49 после каждого слова) кубика, плотностью воды, пористостью воды и скоростями фильтрации по направлениям (49).

(50)

Это и есть дифференциальное уравнение неразрывности.

Дифференциальное уравнение жесткого режима фильтрации. Будем считать, что порода и воды несжимаемы

(51)

Тогда уравнение (50) преобразовать к следующему виду

(52)

Подставляем в уравнение (52) формулы закона Дарси иполучим уравнение жесткого режима фильтрации

(53)

Если пласт является однородным и изотропным, то можно записать (54), то уравнение (53) примет вид

(55)

Уравнение Лапласа (55) в механике горных пород является одним из основных. Оно широко используется в различных отраслях математической физики, в частности в механике горных пород. В динамике подземных вод кроме трехмерных потоков рассматриваются также двухмерные и одномерные потоки. Для них уравнение Лапласа запишется в следующем виде для двухмерного (56)

для одномерного (57)

Если рассматривать плоско-радиальное движение в плане

(р9)

Тогда с использование координаты r уравнение Лапласа запишется следующим образом

(58)

Уравнение жесткого режима не содержит времени в явном виде. Физически это означает, что сам водоносный пласт воды не отдает и не принимает. Вся вода проходит транзитом от контура питания к контуру стока.

Дифференциальное уравнение упругого режима фильтрации. Упругий режим фильтрации является более распространенным в природных условиях. Он учитывает сжимаемость и пласта, и воды. Уравнение неразрывности потока можно записать в следующем виде

(59)

Рассмотрим однородный поток

(60)

Тогда (59) выражаем в следующем виде

(61)

Далее введем обозначение еще одного параметра

(62)

Тогда уравнение (61) можно записать следующим образом

(63) – уравнение Фурье

Это уравнение очень широко используется в гидрогеологии и в других отраслях.

Величина а со звездочкой является показателем изменения скорости напора, размерность ее м²\с.

Для напорного пласта, сложенного песком, значение коэффициента пьезопроводности около 10⁵ м²\с, для глинистых пород – 1 м²\с, следовательно в водоносных слоях фильтрационное возмущение передается со скоростями на несколько порядков большими, чем в водоупорных. Т.о. в отличие от жесткого режима фильтрации, представленного уравнением Лапласа, уравнение упругого режима напорной фильтрации, т.е. уравнение Фурье содержит производную по времени и движение является нестационарным. Физически это означает, что по мере уменьшения  напоров в водоносном пласте постепенно срабатываются его упругие запасы. В практической геологии Беларуси, связанной с водоснабжением, а запасы подземных вод с абсолютным большинством водозаборов оценены и утверждены как упругие запасы.

Краевые условия, структура и режим геофильтрационного потока, постановка геофильтрационных расчетов

5.1 Понятие “краевые условия”

Краевые условия – значения искомой функции и ее производных:

а) на границах фильтрационного потока и б) в начальный момент времени по всей области фильтрации.

Благодаря наличию краевых условия соблюдается однозначность решения задачи, т.е. из множества решений дифференциального уравнения выбирается единственное, отвечающее исследуемой краевой задаче. Краевые условия записываются для функции напора или ее производных. Основная задача гидрогеолога – изучить и сформулировать краевые условия. Краевые условия делятся на начальные и граничные.