Эластичность спроса и предложения. Точечная эластичность(непрерывный случай). Ценовая эластичность спроса в точке

Напишите в общем выражение MRS_xy для этой функции полезности. Как трактуется в отношении предельно полезности X и Y ?

Решение:

а) тогда XY=100, гипербола.

б) XY=100, если X=5, Y=20, то  в точке X=5, Y=20.

в) MU_X=,   MRS=

Эффект дохода (кривая «уровня жизни») и эффект замещения. Компенсированный спрос

Эффект дохода возникает в том случае, если изменение цены данного блага увеличивает (при снижении цены) или уменьшает (при повышении цены) реальный доход, или покупательную способность потребителя.

Эффект замены возникает в результате относительного изменения цен и проявляется в изменении пропорций потребляемых благ.

Существует два способа определения реального дохода: по Слуцкому и по Хиксу.

Согласно Хиксу, разные уровни денежного дохода, обеспечивающие один и  тот же уровень удовлетворения, представляют одинаковый уровень реального дохода.

Разложение общего эффекта изменения цены на эффект дохода и эффект замены по Хиксу показано на рис.4.1.

Бюджетная линия КL соответствует денежному доходу I и ценам P_x и Р_у.   Её касание с кривой безразличия U₁ U₁определяет оптимум потребителя Е₁ , которому соответствует объем потребления  товара Х в количестве Х_1.

               Рис.4.1.Эффект замены и эффект дохода по Хиксу.

Цена X снижается

В случае снижения цены товара Х до Р _Х1 при неизменном денежном доходе I бюджетная кривая займет положение КL₁. Она касается более высокой кривой безразличия  U₂U₂ в точке Е₂, которой соответствует  потребление товара Х в объеме Х₂.

При переходе от первоначального к дополнительному оптимуму (от Е₁ к Е₃) реальный доход потребителя не меняется, он остается на прежней кривой безразличия,

U₁U₁, следовательно сдвиг от Е₁ к Е₃  и характеризует эффект замены товара Y относительно подешевевшим товаром Х. Он равен разности Х₃ – Х₁.

Следовательно, эффект дохода составит Х₂ – Х₃. Отметим, что эффект замены всегда отрицателен, так как эффект дохода может быть отрицателен, положителен и нейтрален (аналогично находятся  эффект дохода и эффект замены в случае, когда цена товара Х повышается).

Товары Гиффена – это такие товары, у которых положительный эффект дохода перекрывает отрицательный эффект замены, закон спроса нарушается – его объем изменяется в том же направлении, что и цена, т.е. ростом цены растет и спрос на товар.

Уравнение Слуцкого в дифференциальной форме:

            Вспомогательная бюджетная линия характеризуется уравнением:

Согласно Слуцкому, лишь тот уровень денежного дохода, который достаточен для приобретения одного и того же н6абора или комбинации товара, обеспечивает неизменный уровень реального дохода.

Рис.4.2.Эффект замены и эффект дохода по Слуцкому.

Цена X повышается.

Поэтому по Слуцкому, при повышении цены вспомогательная бюджетная линия

KL (рис.4.2) проводится не как касательная к прежней кривой безразличия U₂U₂, а строго через точку Е₁, соответствующую оптимальному набору товаров Х и Y при прежнем соотношении цен.Очевидно, она окажется касательной к более высокой, чем U₂ U_2, кривой безразличия U₃ U_3,что означает возможность достигнуть более высокого уровня удовлетворения , чем при использовании модели Хикса. Таким образом, общий результат повышения цены товара X (X₁-X₂) разлагается на эффект замены (X₁-X₃) и эффект дохода (X₃-X₂), при этом движение от Е₁ к Е₂ происходит не вдоль кривой безразличия, а вдоль вспомогательной бюджетной прямой K`L`.

Уравнение Слуцкого в общем виде:

, где первый член представляет собой эффект замещения-изменение спроса на товар X при постоянном уровне полезности. Второй- эффект дохода, порождённый изменением покупательской способности в результате изменения цены.

            Вспомогательная бюджетная линия записывается в виде:

Уравнение Слуцкого записывается также в коэффициентах эластичности:

Уравнение Слуцкого в дифференциальной форме:

Задача 1. Эффект замены и эффект дохода по Слуцкому и Хиксу.

Потребитель с функцией полезности U=(10-X)²+(5-Y)²  тратит на два товара X и Y 100 руб. Цена первого товара X равна 2 руб. Цена второго Y равна 3 руб.Внезапно цена второго товара снизилась да 1 руб. Определите:

а) Как изменилась величина спроса на товар X.

б) Эффект замены и эффект дохода по Хиксу.

в) Эффект замены и эффект дохода по Слуцкому.

г) Значения предельной нормы замещения второго товара первым в точках оптимума до и после изменения цены.

            Решение:

а)     U=(10-X)²+(5-Y)²

2X+3Y=100

Составим функцию Лагранжа до изменения цены:

Решение уравнения можно получить решив следующую систему:

Решив систему, получаем: Y₁=20 Х₂=20

После изменения цены получим следующую функцию Лагранжа:

Решив аналогичную показанной выше систему, получим: Х₂=40 Y₂=20.

Следовательно, величина изменения спроса на товар Х будет равна: