Сведение матричной игры к задаче линейного программирования. Смешанное расширение матричной игры

8.  Сведение матричной игры к задаче линейного программирования

8.1. Смешанное расширение матричной игры

82. Сведение матричной игры к задаче ЛП

8.1. Смешанное расширение матричной игры

В матричных играх исследование начинается с нахождения седловой точки игры в чистых стратегиях. Если игра имеет седловую точку, то нахождением этой точки исследование игры заканчивается. Если же в игре нет седловой точки в чистых стратегиях, то можно найти нижнюю и верхнюю чистые цены этой игры, которые указывают, что игрок 1 не должен надеяться на выигрыш больший, чем верхняя цена игры, и может быть уверен в получении выигрыша не меньше нижней цены игры. Улучшение решений матричных игр следует искать в использовании секретности применения чистых стратегий и возможности многократного повторения игр в виде партии. Этот результат достигается путём применения чистых стратегий случайно, с определённой вероятностью.

Свойства решений матричных игр

Обозначим через G (Х,Y,А) игру двух лиц с нулевой суммой, в которой игрок 1 выбирает стратегию х Î Х, игрок 2 – y Î U, после чего игрок 1 получает выигрыш А = А (х, y) за счёт игрока 2.

Спектр смешанной стратегии игрока в конечной антагонистической игре есть множество всех его чистых стратегий, вероятность которых, согласно этой стратегии, положительна.

Свойство 1. Если чистая стратегия одного из игроков содержится в спектре некоторой его оптимальной стратегии, то выигрыш этого игрока в ситуации, образованной данной чистой стратегией и любой оптимальной стратегией другого игрока, равен значению конечной антагонистической игры.

Свойство 2. Ни одна строго доминируемая чистая стратегия игрока не содержится в спектре его оптимальной стратегии.

Игра G¢ = (Х¢,Y¢,А¢) называется подыгрой игры G (Х,Y,А), если Х¢Ì Х, U¢Ì U, а матрица А¢ является подматрицей матрицы А. Матрица А¢ при этом строится следующим образом: в матрице А остаются строки и столбцы, соответствующие стратегиям Х¢ и U¢, а остальные вычеркиваются. Всё то что останется после этого в матрице А, будет матрицей А¢.

Свойство 3. Пусть G = (Х,Y,А) – конечная антагонистическая игра, G¢ = (Х х¢,Y,А) – подыгра игры G, х¢ – чистая стратегия игрока 1 в игре G, доминируемая некоторой стратегией , спектр которой не содержит х¢. Тогда всякое решение (хо, yо, u) игры G¢ есть решение игры G.

Свойство 4. Пусть G = (Х,Y,А) – конечная антагонистическая игра, G¢ = (Х,Y y¢,А) – подыгра игры G, y¢ – чистая стратегия игрока 2 в игре G, доминируемая некоторой стратегией , спектр которой не содержит y¢. Тогда всякое решение подыгры G¢ есть решение G.

Свойство 5. Если для чистой стратегии х¢ игрока 1 выполнены условия свойства 3, а для чистой стратегии y¢ игрока 2 выполнены условия свойства 4, то всякое решение игры G¢ = (Х х¢,Y y¢,А) есть решение игры G = (Х,Y,А).

Свойство 6. Тройка (хо, yо, u) есть решение игры G = (Х,Y,А), только когда (хо, yо, кu +а) есть решение игры G(Х,Y,кА+а), где а – любое вещественное число, к > 0.

Свойство 7. Чтобы хо = () была оптимальной смешанной стратегией матричной игры с матрицей А и ценой игры u, необходимо и достаточно выполнение следующих неравенств

         (j = )                (*)

Аналогично для игрока 2: чтобы yо = () была оптимальной смешанной стратегией игрока 2, необходимо и достаточно выполнение следующих неравенств:

 (i = )                          (**)

Из последнего свойства вытекает: чтобы установить, суть ли предполагаемые (х, y) и u решение матричной игры, достаточно проверить, удовлетворяют ли они неравенствам (*) и (**). С другой стороны, найдя неотрицательные решения неравенств (*) и (**) совместно с уравнениями

                         (***) получим решение матричной игры.

Итак, решение матричной игры сводится к нахождению неотрицательных параметров решений линейных неравенств (*), (**) и линейных уравнений (***). Но это требует большого объёма вычислений, которое растёт