Основные понятия и классификация систем массового обслуживания. Спрос на удовлетворение какой-либо потребности

Найти вероятность того, что за время  t = 3 минут поступят: а) хотя бы один вызов; б) ровно10 вызовов; в) не менее 10 вызовов.

Решение

а) λ =5, m ≥ 1. Событие A – поступило не менее 1 вызова (≥ 1)  и событие B -  поступило менее 1 вызовов (<1, т.е. m = 0) являются  противоположными событиями, поэтому сумма их вероятностей равна 1. Таким образом  вероятность события A,

P(A) = 1 – P(B) =1- Р(<1) =1 – P(0) = 1- p₃(0) =1 – (53) ⁰e^-53/0! =1 - 0,0000003059 =0,999999694;

б)  λ  = 5, p_t(m) = p₃(10) = (53)¹⁰e^-53/10! = 0.0486

в) Событие A – поступило не менее 10 вызовов (≥ 10)  и событие B -  поступило менее 10 вызовов (<10) являются  противоположными событиями, поэтому сумма их вероятностей равна 1. Таким образом,  вероятность события A, P(A) = 1 – P(B) = 1- P(<10) =  1 - =  = 1 – 0,06985= 0.93015

Примечание. В приведённых вычислениях необходимо суммировать 10 членов ряда, эту рутинную операцию можно избежать, если воспользоваться таблицей случайной пуассоновской величины, содержащейся в программе  Excel ПК: «ПУАССОН (9;15;1) = 0,06985366070».

Пример 2.

Среднее число самолётов, прибывающих в аэропорт за 1 час, равно 3. Найти вероятность того, что за 4 часа прибудут  а) 8самолётов; б) не менее 12 самолетов. Поток прибытия предполагается простейшим, пуассоновским.

Решение

а) λ = 3 , p_t (m) = p₄(8) = (34)⁸e^-34/8! = 0.0655

б) P(≥12) = = 1-0,4615973 = 0.5384027

Распределение интервала времени T между произвольными двумя соседними событиями простейшего потока.

Рис.4.

Так как вероятность того, что на промежутке  времени t не появится ни одного из последующего события  (2.1.2), равна:

 , то  вероятность противоположного события, т.е. функция распределения случайной величины T, есть:

.                                               (2.1.3)

Плотность распределения случайной величины есть производная от её функции распределения, т.е.

                                                      (2.1.4)

Распределение, задаваемое плотностью вероятности (2.1.4) или функцией распределения (2.1.3) является  показательным (экспоненциальным)

Таким образом,  случайная величина T –  интервал времени между двумя произвольными соседними событиями имеет показательное распределение, для которого математическое ожидание равно среднему квадратическому значению T (см.§2.1.1):

Отметим важнейшее свойство показательного распределения (присущее только этому распределению), которое  состоит в следующем:

если промежуток времени, распределённый по показательному закону, уже длится некоторое время , то это никак не влияет на закон распределения оставшейся части промежутка  (T – ): он будет таким же, как и закон распределения всего промежутка T.

Другими словами, для интервала времени T  между двумя последовательными соседними событиями потока, имеющего показательное распределение, любые сведения о том, сколько времени протекал этот  интервал, не влияет на закон распределения оставшейся части.  Это свойство показательного закона представляет собой, по сути дела, другую формулировку  для «отсутствия последействия» – основного свойства простейшего потока.

Приведём ещё одну важную характеристику простейшего потока, которую мы будем использовать при выводе и использовании уравнений Марковских процессов. Для простейшего потока  с интенсивностью   λ   вероятность попадания на элементарный (малый) отрезок времени   Δt   хотя бы одного события потока (противоположное событие – ноль событий) равна согласно (2.1.2):   

            (2.1.5)

Примечание.  Отметим, что выражение (2.1.5) получено с учётом в разложении функции e^-λΔt   в ряд Маклорена  по степеням  Δt только двух членов ряда, и это приближение будет тем точнее, чем меньше Δt.

Подведём итог.

Использование моделей простейших потоков событий в качестве  входных и выходных  процессов в СМО определяется свойствами таких потоков:

1)  стационарность – постоянное число событий в единицу времени;

2)  отсутствие последействия – независимость числа событий после любого момента времени от числа событий до него;

3)  ординарность – практическая невозможность одновременного наступления нескольких событий,

позволяющих применение аналитических методов теории случайных процессов при построении и анализе математических моделей СМО.

§2.1.3. Основные категории теории массового обслуживания

Теория массового обслуживания (или теория очередей) строит модели процессов, для которых характерна следующая структура: в систему  массового обслуживания  (СМО)  в случайные моменты времени поступают заявки или требования,  образующие  входной поток СМО. Это могут быть линии связи, приемные или отправные пункты (терминалы), подъездные пути, взлётно-посадочные полосы, технологические линии, ремонтные бригады и т. п. Если есть свободные каналы обслуживания, то требования  выполняются. Если все каналы обслуживания заняты, то требование становятся в очередь  по определённому правилу или без обслуживания покидают систему. Выполненные требования (обслуженные заявки) образуют выходной поток СМО.

В настоящее время теоретически наиболее разработанными являются модели СМО, в которых поток требований является простейшим, пуассоновским, с интенсивностью λ, определяющим среднее число требований (заявок), поступающих в единицу времени на вход СМО.

СМО состоит из определённого числа обслуживающих единиц – каналов