Элементы векторной алгебры. Вектора и действия над ними. Дистрибутивность относительно сложения векторов

трехмерном пространстве любая тройка некомпланарных (не лежащих или не параллельных одной плоскости) векторов линейно независима, а любая четверка векторов линейно зависима.

Любой набор из максимального числа линейно независимых векторов некоторого линейного векторного R пространства называют его базисом. Наибольшее число линейно независимых векторов некоторого линейного векторного R пространства называют его размерностью. Приняты обозначения: R² - пространство двумерных векторов на плоскости; R³ -  пространство трехмерных векторов в пространстве.

ПРОЕКЦИЯ ВЕКТОРА НА  ОСЬ

Осью называют любую прямую в пространстве или на плоскости с заданным на ней направлением (обычно ее направление задается единичным вектором, называемым ортом оси).

Углом между двумя векторами (отличными от 0) называется наименьший угол между двумя лучами,проведенные из одной точки пространства в направлениях этих векторов.

Углом между вектором а и осью L .называют угол, отсчитываемый против часовой стрелки от положительного направления оси к вектору.

Проекцией вектора на ось L называется длина отрезка А’В’ между основаниями перпендикуляров,опущенных из точек А и В на ось L Скалярной (чисовой) проекция вектора, на ось L равна произведению модуля вектора на косинус угла, образованного вектором с осью пр_LАВ = |АВ|cos(L^AB). Принято обозначение пр_LAB.

Если числовую проекцию умножит на единичный вектор (орт) оси, то получим вектрную проекцию или составляющую вектора вдоль оси.

Операция проектирования - линейная операция, т.е.  сохраняет линейные операции: пр_С (а+b)=пр_С а+пр_Сb, пр_С (ka)=kпр_С а

Проекция линейной комбинации векторов равна линейной комбинации их проекций; пр_L(l₁а₁+l₂а₂) = l₁пр_Lа₁ + l₂пр_Lа₂.

Базисом называется линейно независимая система векторов,такая, при которой любой вектор,принадлежащий этому пространству,может быть выражен в виде линейной комбинации векторов этой системы.

Теорема единственности: Если задан базис е₁ ,е₂ ,е₃ ,то разложение любого вектора а по этому базису единственно:   а= а₁е₁ + а₂е₂ + а₃е₃ Если дан базис е₁, е₂, е₃,то коэффициенты разложения вектора по этому базису называются координатами а = ( а₁, а₂, а₃)

Замечание: У одного и того же вектора в разных базисах разные координаты.

Разложение вектора по ортам декартовой системы координат

Разложить по базису a, b вектор  с, лежащий в плоскости базисных векторов значит представить его в виде  c=xa + yb, где x, y - координаты вектора c в базисе a, b, аналогично для пространственного базиса.

При решении задач координатным методом или с помощью векторов - главным является удачный выбор системы координат - желательно чтобы система координат естественным образом определялась условиями задачи

Система координатэтоначало координат  О и направляющие векторы осей, длины которых определяют масштаб на осях. Для перпендикулярных и единичных по длине направляющих векторов принято обозначение i, j, k. На плоскости  направляющие векторы осей  (базис) - любая пара неколлинеарных (непараллельных) векторов,  в пространстве  базис - любая тройка некомпланарных (непараллельных одной плоскости) векторов.

Коэффициенты этого разложения - координаты вектора в данной системе координат - проекции вектора на координатные оси, что можно записaть в виде a={а_х, а_y, а_z} = а_хi+ а_yj+ а_zk.

Направляющие косинусы вектора - косинусы углов         a = (i^а), b = (j^а), g = (k^а),  которые вектор cоставляет с осями OХ, OY, OZ. (cosa = a_х/|a|,  cosb = a_y/|а|, cosg = a_z/|a|, тогда  а_х= пр_oхa = |a|cosa,  а_y=пр_oya = |a|cosb , а_z=пр_oza =|a|cosg,

Если возвести последние три равенства в квадрат и сложить, то получим основное тригонометрическое тождество для направляющих косинусов вектора:                    

Пусть в  декартовой  системе  кooрдинат в пространстве заданы две точки или два их радиуса вектора r_A = ОА ={х_A, y_A, z_A}, r _B = OB ={х_B, y_B, z_B}. Из векторного равенства АВ=r_В - r_А = {х_В-х_А, y_В-y_А, z_В-z_А}, т. е. для нахождения координат вектора при известных координатах его начала и конца следует из координат координат конца вычесть координаты начала соответственно

a = {x_В - x_А; y_В - y_А; z_В - z_А}

МОДУЛЬ (ДЛИНА) ВЕКТОРА:- расстояние от начала до конца вектора. Модуль вектора с помощью его координат определяется:|a| = = Модуль вектора | АВ| = cовпадает с формулой расстояния между точками. А и В.

В заданном базисе любой вектор линейного пространства однозначно определяется своими координатами Ecли два вектора равны, то равны их координаты, следовательно равны модули и направляющие косинусы

Сложение векторов: координатной форме a ± b={à_x ± b_x; a_y ± b_y; a_z ± b_z}.

Коллинеарность векторов a =lb, причем |a |=|l | b|     - условие коллинеарности  в координатной форме имеет вид:.

Иногда удобно представлять вектор не в виде строки составленной