Линейное пространство, основные понятия. Базис и размерность линейного пространства. Координаты вектора в заданном базисе

2.1. ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Пусть М – множество элементов произвольной природы, для которых определены операции сложения и умножения на действительное число:

•паре элементов хÎ М, уÎ М отвечает элемент х + уÎ М, называемый суммой элементов х и у;

• паре х, α, где хÎ М и α – любое действительное число, отвечает элемент αxÎ М, называемый произведением числа α и элемента х.

Будем называть множество М линейным пространством, если для его элементов определены операции сложения и умножения на действительное число и для любых элементов х, у, z Î М и произвольных α, β справедливо:

1.  x+ у = у + x, сложение коммутативно;

2.  х + (у + z) = (х + у)+z, сложение ассоциативно;

3.  существует нулевой элемент 0 Î М такой, что х + 0 = x;

4.  для каждого элемента существует противоположный элемент –х такой, что х + (–х) = 0;

5.  α(βх) = (αβ)х, умножение на число ассоциативно;

6.  1×x = x;

7.  α(х + у) = αх +αy, умножение на число дистрибутивно относительно сложения элементов;

8.  (α + β)х = αх + βх, умножение вектора на число дистрибутивно относительно сложения чисел.

Равенства 1–8 называют аксиомами линейного пространства. Линейное пространство часто называют  векторным  пространством, а его элементы – векторами.

Базис и размерность линейного пространства. Координаты вектора в заданном базисе

Говорят, что элемент (вектор) линейного пространства L линейно выражается через элементы (векторы) e₁, e₂, …, e_n Î L, если его можно представить в виде линейной комбинации этих элементов, т.е. представить в виде х = α₁e₁ + α₂e₂+ …+α_ne_n.

Если хотя бы один вектор системы e₁, e₂, …, e_n векторов линейного пространства L линейно выражается через остальные векторы системы, то система векторов называется линейно зависимой. Система векторов, которая не является линейно зависимой, называется линейно независимой.

Справедливо следующее утверждение.

Система e₁, e₂, …, e_n векторов линейного пространства L линейно независима тогда и только тогда, когда из равенства α₁e₁ + α₂e₂+ …+α_ne_n = 0 следует равенство нулю всех коэффициентов: α₂ = 0, α₂ = 0, ...,α_n = 0.

Если в линейном пространстве L существует линейно независимая система из n векторов, а любая система из (п+1)–го вектора линейно зависима, то число n называется размерностью пространства L и обозначается n = dim(L). В этом случае пространство L = L_n называют п–мерным линейным пространством или п–мерным векторным пространством.

Любая упорядоченная линейно независимая система n векторов e₁, e₂, …, e_n      п–мерного линейного пространства L образует базис пространства, и любой вектор х Î L единственным образом выражается через векторы базиса: х = x₁e₁ + x₂e₂+ …+x_ne_n.

Числа x₁, x₂, …, x_n называют координатами вектора х в базисе e₁, e₂, …, e_n и обозначают  x = (x₁, x₂, …, x_n). При этом для любых двух произвольных векторов n–мерного линейного пространства x = (x₁, x₂, …, x_n), у = (y₁, y₂, …, y_n) и произвольного числа α справедливо: x + у = (x₁+y₁, x₂ + y₂, …, x_n + y_n) и αx = (αx₁, αx₂, …, αx_n). Это означает, что все n–мерные линейные пространства "устроены" одинаково: как пространство Rⁿ векторов–столбцов из п действительных чисел, т.е. что все они изоморфны пространству Rⁿ.

Линейные пространства X и Y называются изоморфными, если между их элементами можно установить такое взаимно однозначное соответствие, что если векторам х и x' из X соответствуют векторы у и у' из Y", то вектору х+ х' соответствует вектор у + у' и при любом α вектору ах Î X соответствует вектор αу Î Y.

Изоморфизм n–мерных линейных пространств пространству Rⁿ означает, что соотношения между элементами n–мерного линейного пространства и операции с ними можно изучать как соотношения между векторами из Rⁿи операции с ними и что всякое утверждение относительно векторов из Rⁿ справедливо для соответствующих элементов любого n–мерного линейного пространства.

Например, доказано, что система векторов e₁, e₂, …, e_n из R^п

,  ,  …, 

образует базис в Rⁿ тогда и только тогда, когда отличен от нуля определитель матрицы со столбцами e₁, e₂, …, e_n:

.

Для векторовe₁, e₂, …, e_n из L_n это означает, что они образуют базис в L_n тогда и только тогда, когда отличен от нуля определитель матрицы, столбцами которой являются компоненты векторов e₁, e₂, …, e_n.

Пусть e₁, e₂, …, e_n и f₁, f₂, …, f_n, – два базиса в L_n.

Матрицей перехода от базиса e₁, e₂, …, e_n к базису f₁, f₂, …, f_n дается матрица С,  столбцами которой являются координаты торов f₁, f₂, …, f_n в базисе e₁, e₂, …, e_n:

f₂  = f₁₂e₁+ f₂₂ e₂+ …+ f_n2 e_n,             f₂  = (f₁₂  f₂₂ … f_n2 )^T,

f₁  = f₁₁e₁+ f₂₁ e₂+ …+ f_n1 e_n,             f₁  = (f₁₁  f₂₁ … f_n1 )^T,

…………………………….              …………………….

f_n  = f_1ne₁+ f_2n e₂+ …+ f_nn e_n,             f_n  = (f_1n  f_2n  … f_nn )^T,

Вектор линейно выражается через векторы обоих базисов. Тогда, если х = х е₁ + х₂е₂ + ... + х_пе_п = y₁f₁+ y₂f₂ + … + y_nf_n , то координаты, x₁, x₂, …, x_n вектора в базисе e₁, e₂, …, e_n, и его координаты y₁, y₂, …, y_n в базисе f₁, f₂, …, f_n связаны соотношениями

, или x_е = Сx_f, x_f = С^–1x_е, если ввести обозначения x_е = (x₁, x₂, …, x_n)^T и x_f= (y₁, y₂, …, y_n)^T    Для векторов–столбцов координат вектора x в соответствующих базисах.

ЗАДАНИЕ 2.1

Докажите, что векторы f₁ , f₂ , f₃, f₄ образуют базис в пространстве L₄, и найдите координаты вектора х^Т={1 1 1 1}^T в этом базисе

14.  f₁= ,  f₂= ,  f₃=,  f₄=.

15.   f₁= ,  f₂= ,  f₃=,  f₄=.

16.  f₁= ,  f₂= ,  f₃=,  f₄=.

17.  f₁= ,  f₂= ,  f₃=,  f₄=.

18.  f₁= ,  f₂= ,  f₃=,  f₄=.

19.  f₁= ,  f₂= ,  f₃=,  f₄=.

20.    f₁= ,  f₂= ,  f₃=,  f₄=.

 Порядок выполнения задания

1. Установите автоматический режим вычислений.

2. Введите матрицу C со столбцами f₁, f₂, f₃, f₄ .

3. Покажите, что определитель матрицы С отличен от нуля.

4. Вычислите матрицу, обратную к матрице С.

5. Запишите выражение и вычислите координаты вектора в базисе f₁, f₂, f₃, f₄.

6. Проверьте вычисления, выполнив обратный переход.

Пример выполнения задания

Докажите, что векторы ,  ,  ,       образуют базис в пространстве L₄, и найдите