Решение задач о выбросах. Приобретение навыков расчета характеристик случайного процесса при выходе его за определенные границы

Министерство высшего и профессионального образования РФ

Тульский государственный университет

Кафедра прикладной математики и информатики

СЛУЧАЙНЫЕ  ПРОЦЕССЫ

Лабораторная работа №3

Выполнил ст. гр.                                                            

Проверил к.т.н., доц.                                                                               А

Тула 2001

РЕШЕНИЕ   ЗАДАЧ   О   ВЫБРОСАХ

I. ЦЕЛЬ  РАБОТЫ.

Приобретение навыков расчета характеристик случайного процесса при выходе его за определенные границы.

II. ЗАДАНИЕ.

Содержание железа в рудном блоке длинной  по направлению его отработки является нормальной случайной функцией со средним значением  и автокорреляционной функцией

 (τ – в метрах).

Руда считается кондиционной, если содержание железа в ней не ниже .

Определить:

1.  Сколько раз в среднем за время отработки блока содержание железа будет выходить за пределы %;

2.  Вероятности Р₀, Р₁, Р₂ того, что на первых К метрах не будет ни одного выхода содержания железа за пределы %; будет один выход; два выхода.

3.  Среднюю продолжительность поступления некондиционной руды;

4.  Сколько раз в среднем за время отработки блока содержание железа будет равно .

Здесь

III. РЕШЕНИЕ.

1.Искомое число выбросов , где        коэффициент 2 появляется в следствии того, что надо учитывать как выбросы снизу вверх за уровень , так и выбросы сверху вниз за уровень . – длина блока.   – среднее число выбросов стационарного нормального процесса в единицу времени, определяемое следующим образом:

,                   где .

Подставляя данные задачи в формулу, имеем:

.

Определим :

.

Тогда число выбросов:

 .

2.   Считая допустимым приближенно пользоваться законом Пуассона, получаем среднее число выбросов  на первых :

вероятность того, что на первых не будет ни одного выброса за пределы :

вероятность того, что на первых будет один выброс:

вероятность того, что на первых будет два выброса:

Некоторой проверкой допустимости применения закона Пуассона в данном случае может служить тот факт, что для среднего расстояния между выбросами  нормированная корреляционная функция при  равна нулю: 

3.  Средняя длительность выброса нормального случайного процесса Х(t) за уровень а определяется формулой:

.

В данном случае ;  

Тогда средняя продолжительность поступления некондиционной руды составляет:

4.  Искомое число равно числу выбросов в обе стороны за нулевой уровень.

;               ;        .