Метод разделения переменных(метод Фурье). Задача Штурма–Леувиля. Собственная функция. Свойства коэффициентов Фурье

Министерство образования Российской Федерации

Дальневосточный государственный технический университет

(ДВПИ им. В.В. Куйбышева)

Кафедра прикладной математики и механики

Курсовая работа

по математической физике.

                                                                                    Выполнил:

Проверил: 

Оценка:

Владивосток

2011 г.

ОГЛАВЛЕНИЕ

                                                                                                                         Стр.                                                                                                 

1. Метод разделения переменных(метод Фурье)……...………………………..2

  Пример №2 Приведение уравнения к каноническому виду ……………….6

  Пример №2(реализация в пакете Maple   приложение 1)

Аналитическое решение………………………………………………………8

  Пример №3 Метод разделения переменных………………………………..10

2. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ……………………………………………….........12

Метод разделения переменных

(метод Фурье)

Рассмотрим первую краевую задачу для однородного уравнения колебаний струны

                                                                        (1)

    

 

                                                                  (2)

Где - это начальный прогиб, а - это начальная скорость колебаний струны. Согласно методу Фурье будем искать решение уравнения в виде произведения 2-х функций:

                                                            (3)

Подставим (3) в (1):

|:

Подставляем (3) в граничные условия (2):

Требуется найти такие значения , при которых данная задача имеет ненулевое решение. Эти значения  называются собственными значениями задачи, а соответствующие им решения – собственными функциями.

Задача на собственные значения называется задача Штурма–Леувиля:

1) <0

 - корни вещественные и разные

(так как выражение в скобках не равно 0)

При <0 только нулевые решения.

2)

(так как l не равно нулю)

3)

-собственная функция.

Так как уравнения и граничные условия однородные, то собственные функции определяются с точностью до постоянного множителя, т.е. функция СX_n(x)  так же являются собственными.

Будем искать общее решение в виде суммы ряда:

 (5)

- равномерно сходящийся.

Ряд (5) сходится равномерно, если сходится числовой ряд  согласно признаку равномерной сходимости Вейерштрасса.

Подставляем (5) в начальные условия:

     

   (6)

Ряд (5) вместе с (6) дает нам решение задачи:

 определяют поведение коэффициентов A_n и B_n.

Свойства коэффициентов Фурье.

Если функция  имеет непрерывную производную k, то её коэффициент Фурье , где с – некоторая константа. Таким образом, чтобы решение (5) можно было дифференцировать 2 раза, необходимо чтобы имело непрерывную производную 3 порядка, а 2 порядка. Если условие для не выполнено следует рассматривать сходимость ряда Фурье в обобщенном смысле.

Пример №1.

> restart;

> yr:=9*diff(u(x,y),x,x)+6*diff(u(x,y),x,y)+1*diff(u(x,y),y,y)-9*diff(u(x,y),x)-3*diff(u(x,y),y)=0;

> yr1:=lhs(yr);

> a11:=coeff(yr1,diff(u(x,y),x,x));

> a12:=coeff(yr1,diff(u(x,y),x,y))/2;

> a22:=coeff(yr1,diff(u(x,y),y,y));

> x_yr:=a11*z^2+2*a12*z+a22=0;

> res1:=solve(x_yr,z);

> xi:=y-int(res1[1],x);

> eta:=x;

> xix:=diff(xi,x);

> xiy:=diff(xi,y);

> xixx:=diff(xi,x,x);

> xiyy:=diff(xi,y,y);

> xixy:=diff(xi,x,y);

> etax:=diff(eta,x);

> etax:=diff(eta,x);

> etay:=diff(eta,y);

> etaxx:=diff(eta,x,x);

> etayy:=diff(eta,y,y);

> etaxy:=diff(eta,x,y);

> Uxx:=u[xixi]*xix^2+2*u[xieta]*xix*etax+u[etaeta]*etax^2+uxi*xixx+ueta*etaxx;

> Uxy:=u[xixi]*xix*xiy+u[xieta]*(xix*etay+xiy*etax)+u[etaeta]*etax*etay+uxi*xixy+ueta*etaxy;

>

> Uyy:=u[xixi]*xiy^2+2*u[xieta]*xiy*etay+u[etaeta]*etay^2+uxi*xiyy+ueta*etayy;

> Ux:=u[xi1]*xix+u[eta1]*etax;

> Uy:=u[xi1]*xiy+u[eta1]*etay;

> yr2:=subs({diff(u(x,y),x,x)=Uxx,diff(u(x,y),x,y)=Uxy,diff(u(x,y),y,y)=Uyy,diff(u(x,y),x)=Ux,diff(u(x,y),y)=Uy},yr);

Пример №2.

> restart;

> ur:=diff(u(x,t),t$2)=a^2*(diff(u(x,t),x$2))+g;

> u(x,t):=v(x)+w(x,t);

> ur;

> urv:=diff(v(x),x$2)=-g/a^2;

> v(x):=rhs(dsolve({urv,v(0)=0,D(v)(l)=0},v(x)));

> ur:=expand(eval(ur));

> w(x,t):=X(x)*T(t);

> ur:=eval(ur)/w(x,t)/a^2;

> rhs(ur)=-la^2;

> dsolve({%,X(0)=0},X(x));

> la:=Pi/2*(2*n+1)/l;

X(x):=sin(la*x);

> T(t):=rhs(dsolve(lhs(ur)=-la^2,T(t)));

> T(t):=subs(_C1=B,_C2=A,T(t));

> w(x,t):=Sum(eval(w(x,t)),n=0..m);

> w(x,0):=eval(w(x,t),t=0)=-v(x);

A:=2/l*int(X(x)*rhs(w(x,0)),x=0..l);

sin(Pi*n):=0;

> A;

> w[t](x,0):=eval(diff(w(x,t),t),t=0)=0;

B:=2/l/(Pi*(2*a/l*n+a/l)/2)*int(X(x)*rhs(w[t](x,0)),x=0..l);

> u(x,t):=eval(w(x,t)+v(x));

 

 

                                        Пример  № 3.

> restart;

> v(x):=sin(x)/a^2-x*cos(l)/(l*a^2);

> lambda[n]:=(Pi/2*(2*n+1))/l;

> A[n]:=-2/l*int(v(x)*sin(Pi/2*l)*x*(2*n+1),x=0..l);

>

> w(x,t):=Sum(A[n]*cos(lambda[n]*a*t)*sin(lambda[n]*x),n=0..10);

>

> u(x,t):=v(x)+w(x,t);

> l:=7;

> a:=1;

> plot3d(u(x,t),t=0..10,x=0..l);

>

>

>

>

>

Список литературы

1.  «Математическая физика (конспект лекций)»

                                   Бочарова А. А.