Обработка статистических данных. Построение функции распределения. Нормальное распределение. Распределение Вейбулла, страница 2

,                                                (1.2)

,                                                      (1.3)

где     L – ширина графика, мм;

tmax – наибольшее значение вариационного ряда;

tmin – наименьшее значение вариационного ряда;

,

.

График функции распределения показан на рисунке 1.3.

2.3 Логарифмически нормальное распределение

Для логарифмически нормального закона график функции распределения строится так же, за исключением того, что горизонтальная шкала t неравномерная, логарифмическая. График функции распределения показан на рисунке 1.4.

 


Рисунок 1.3 – График функции логарифмически нормального распределения

2.4 Закон Вейбулла, при b>1

Для закона Вейбулла график функции распределения строится так же, как и график логарифмически нормального распределения. График функции распрделения показан на рисунке 1.5.

Числовые значения SF(t) для нормального, логарифмически нормального законов и закона Вейбулла приведены в таблице П.1 приложения. Значения St для логарифмически нормального закона и закона Вейбулла приведены в таблице П.2 приложения.

 


Рисунок 1.3 – График функции распределения Вейбулла

3. Теоретические значения вероятностей

Полученные графики функций распределения позволяют сделать вывод о том, что наработки между случайными  отказами подчиняются нормальному закону распределения, плотность которого

,                                        (3.1)

где      – математическое ожидание случайной величины Т,

 – среднее квадратическое отклонение Т.

В вероятностных задачах математическое ожидание определяют в зависимости от вероятности  появления значения ti для дискретных величин

.                                                   (3.2)

где     k – число возможных значений случайной величины;

Среднее квадратическое отклонение

.                                              (3.3)

где     D – дисперсия случайной величины, характеризующая ее рассеяния относительно математического ожидания. Для дискретной величины.

.                                         (3.4)

1028,75,

=343126,625,

.

Для нормального закона функции распределения будет иметь вид

,                                            (3.5)

где     Fo – функция нормированного распределения, числовые значения которой приведены в таблице П.2 приложения [1].

Вероятность попадания случайной величины в i-ый разряд

.                                         (3.6)

Для случая логарифмически нормального распределения, учитывая (3.5) и полученные значения числовых параметров распределения, формула (3.6) примет вид

.                        (3.7)

Подставляя сюда значения  и  для каждого разряда из таблицы 1.2, получим теоретические значения вероятностей , приведенные в таблице 1.3.

Таблица 1.3 – Теоретические значения вероятностей

Номер разряда i

Середина разряда

Теорет. вероятность

1

212,5

0,1123

0,0014

2

637,5

0,8485 – 0,6217

0,2268

0,0669

3

1062,5

0,6628 – 1 + 0,6217

0,2845

0,0173

4

1625

0,94738 – 0,6628

0,28458

0,0005

5

2325

0,997523 – 0,94738

0,050143

0,0359

Критерий Пирсона

,                                       (3.7)

.

Число степеней свободы

,                                                (3.8)

где     k – число разрядов статистического ряда,

ψ – число параметров предполагаемого распределения.

Число степеней свободы по (3.8) при числе параметров предполагаемого распределения ψ=2

.

Теперь, используя таблицу П.6 приложения [1], для  и r=2 находим вероятность p=0,2231, что больше 0,05.

Следовательно, предполагаемый закон не противоречит опытным данным.

4. Показатели долговечности

Долговечность количественно оценивается с помощью двух групп показателей: ресурса как показателя, связанного с наработкой объекта, и срока службы, связанного с календарной продолжительностью.

Ресурс машины является случайной величиной, поэтому на практике ресурс определяется с заданной вероятностью γ процентов, а гамма-процентный ресурс Тγ находится из уравнения

.                                                   (3.1)

Заданный процент объектов – γ-регламентированная вероятность. Гамма-процентный ресурс при нормальном распределении

,                                                (3.2)

где      – средний ресурс, определяемый по формуле;

up – квантиль нормального распределения, определяемая по таблице П.3 приложения [1]. Для 80-% ресурса квантиль up = 0,842.

,                                                 (3.3)

=40646/40=1016,15 ч,

ч.

Список литературы:

1. Каргин В.А, Основы теории надежности и технической диагностики: Учеб. Пособие. – Новосибирск: Изд-во СГУПСа, 2002. – 99 с.