Обработка статистических данных. Построение функции распределения. Нормальное распределение. Распределение Вейбулла, страница 2

, (1.2)

, (1.3)

где L – ширина графика, мм;

t_max – наибольшее значение вариационного ряда;

t_min – наименьшее значение вариационного ряда;

График функции распределения показан на рисунке 1.3.

2.3 Логарифмически нормальное распределение

Для логарифмически нормального закона график функции распределения строится так же, за исключением того, что горизонтальная шкала t неравномерная, логарифмическая. График функции распределения показан на рисунке 1.4.

Рисунок 1.3 – График функции логарифмически нормального распределения

2.4 Закон Вейбулла, при b>1

Для закона Вейбулла график функции распределения строится так же, как и график логарифмически нормального распределения. График функции распрделения показан на рисунке 1.5.

Числовые значения S_F(t) для нормального, логарифмически нормального законов и закона Вейбулла приведены в таблице П.1 приложения. Значения S_t для логарифмически нормального закона и закона Вейбулла приведены в таблице П.2 приложения.

Рисунок 1.3 – График функции распределения Вейбулла

3. Теоретические значения вероятностей

Полученные графики функций распределения позволяют сделать вывод о том, что наработки между случайными отказами подчиняются нормальному закону распределения, плотность которого

, (3.1)

где – математическое ожидание случайной величины Т,

– среднее квадратическое отклонение Т.

В вероятностных задачах математическое ожидание определяют в зависимости от вероятности появления значения t_i для дискретных величин

. (3.2)

где k – число возможных значений случайной величины;

Среднее квадратическое отклонение

. (3.3)

где D – дисперсия случайной величины, характеризующая ее рассеяния относительно математического ожидания. Для дискретной величины.

. (3.4)

1028,75,

=343126,625,

Для нормального закона функции распределения будет иметь вид

, (3.5)

где F_o – функция нормированного распределения, числовые значения которой приведены в таблице П.2 приложения [1].

Вероятность попадания случайной величины в i-ый разряд

. (3.6)

Для случая логарифмически нормального распределения, учитывая (3.5) и полученные значения числовых параметров распределения, формула (3.6) примет вид

. (3.7)

Подставляя сюда значения и для каждого разряда из таблицы 1.2, получим теоретические значения вероятностей , приведенные в таблице 1.3.

Таблица 1.3 – Теоретические значения вероятностей

Номер разряда i	Середина разряда		Теорет. вероятность
1	212,5		0,1123	0,0014
2	637,5	0,8485 – 0,6217	0,2268	0,0669
3	1062,5	0,6628 – 1 + 0,6217	0,2845	0,0173
4	1625	0,94738 – 0,6628	0,28458	0,0005
5	2325	0,997523 – 0,94738	0,050143	0,0359

Критерий Пирсона

, (3.7)

Число степеней свободы

, (3.8)

где k – число разрядов статистического ряда,

ψ – число параметров предполагаемого распределения.

Число степеней свободы по (3.8) при числе параметров предполагаемого распределения ψ=2

Теперь, используя таблицу П.6 приложения [1], для и r=2 находим вероятность p=0,2231, что больше 0,05.

Следовательно, предполагаемый закон не противоречит опытным данным.

4. Показатели долговечности

Долговечность количественно оценивается с помощью двух групп показателей: ресурса как показателя, связанного с наработкой объекта, и срока службы, связанного с календарной продолжительностью.

Ресурс машины является случайной величиной, поэтому на практике ресурс определяется с заданной вероятностью γ процентов, а гамма-процентный ресурс Т_γ находится из уравнения

. (3.1)