Статически неопределимые системы. Классификация стержневых систем. Степень статической неопределимости

исходной схеме каждая пара таких сечений представляет собой одно сечение и, как следует из условия неразрывности балки, их взаимный угол поворота должен быть равен нулю: .

Пример 3.3. Для балки (рис. 3.26 а) раскрыть статическую неопределимость и построить эпюры Qи М.

Решение

1. Балка один раз статически неопределима: . Выбираем основную систему путем врезания шарнира над промежуточной опорой В (рис. 3.26 б). При этом основная система представляет собой две простых шарнирно-опертых балки АВ и ВС. Загрузив основную систему заданной внешней силой F и неизвестным изгибающим моментом , переходим к эквивалентной системе (рис. 3.26 в).

Рис. 3.26

2. Каноническое уравнение метода сил:

.                                       (3.13)

3. Находим коэффициенты канонического уравнения. Определив опорные реакции для единичной и грузовой схем, строим эпюры изгибающих моментов  от  и от нагрузки  в основной системе (рис. 3.27 а, б).

Рис. 3.27

Умножаем эпюру  «саму на себя»:

.

Умножаем эпюру  на :

.

Находим значение  из уравнения (3.13):

.

4. Строим окончательную эпюру изгибающих моментов М (рис. 3.28 б) методом сложения эпюры М_F с эпюрой , предварительно умноженной на значение , т.е. исходя из равенства

.

Для эквивалентной системы, нагруженной силой F и найденным усилием  (рис.3.28 а), определяем реакции опор и строим эпюру поперечной силы Q (рис. 3.28 в).

Рис. 3.28

3.4. Раскрытие статической неопределимости в шарнирно-стержневых системах

Пример 3.4. Абсолютно жесткий брус ВD закреплен с помощью шарнирной опоры и двух стальных стержней (тяг) одинаковой длины, см. рис. 3.29 а. Определить усилия в стержнях для двух вариантов:

1)  площади поперечных сечений стержней одинаковы, т.е. ;

2)  площадь сечения первого стержня в два раза больше, чем второго, т.е. , .

Рис. 3.29

Решение

Для 1-го варианта

1. Определяем степень статической неопределимости: . Система один раз статически неопределима.

2. Выбираем основную и эквивалентную системы (рис. 3.29 б, в).

Основную систему получаем, разорвав первый стержень у нижнего конца, в точке Н (стержень не «отбрасываем»). За лишнюю неизвестную принимаем внутреннее усилие в стержне , которое является взаимным.

3. Записываем каноническое уравнение метода сил:

,                                       (3.14)

где  - усилие в первом стержне;  - взаимное смещение конца стержня и бруса от ;  - взаимное смещение конца стержня и бруса от заданной нагрузки.

Смысл записанного уравнения в том, что взаимное смещение разорванного стержня относительно жесткого бруса равно нулю.

4. Определяем коэффициенты канонического уравнения. Для этого рассматриваем основную систему, нагруженную заданной силой F, затем - единичным неизвестным усилием , рис. 3.30.

Рис. 3.30

При расчете усилия во втором стержне уравнения равновесия для бруса ВD примут  вид:

- для грузового состояния, см. рис. 3.30 а, –

   (растяжение);

- для единичного состояния, см. рис. 3.30 б, –

       (сжатие).

Строим эпюры продольных сил для стержней  и  (рис. 3.30 а, б). Вычисляем коэффициенты  и  перемножением эпюр.

Эпюру  умножаем «саму на себя»:

.

Эпюру  умножаем на эпюру .

.

5. Решаем каноническое уравнение (3.14) относительно :

.

Усилие во втором стержне найдем исходя из равенства

.

Ответ: стержни работают на растяжение, и усилия в них , .

Для 2-го варианта

Если жесткость первого стержня увеличить в два раза, то изменится коэффициент :

.

Тогда

Ответ: Усилия в стержнях ; .

Сравнив значения усилий, найденные в обоих вариантах, замечаем, что при увеличении жесткости первого стержня усилие в нем растет, а усилие во втором стержне уменьшается.

Таким образом, первая особенность статически неопределимых систем состоит в том, что чем выше жесткость элемента, тем большую часть прилагаемой нагрузки он способен воспринять. Эта особенность позволяет регулировать усилия в статически неопределимых системах, изменяя жесткость стержней конструкции.

3.5. Расчет статически неопределимых систем при температурном воздействии

При нагревании на  стержня, заделанного одним концом (рис. 3.31 а), в нем не возникнут напряжения, т.к. правый конец стержня свободно перемещается на величину

,                                           (3.15)

где a - коэффициент температурного расширения материала.

Рис. 3.31

Если стержень заделан обоими концами в неподатливые стены (рис. 3.31 б), то при повышении температуры он удлиняется и оказывает давление на заделки, в которых возникнут реакции. При этом стержень будет испытывать сжатие.

Пример 3.5. Определить усилия и напряжения в стержнях системы (рис. 3.32 а), возникающие за счет повышения температуры на  С.

Рис. 3.32

Решение. Усилия в стержнях до нагревания равны нулю, т.к. нагрузка отсутствовала. При росте температуры стержни не могут свободно удлиняться, т.к. связаны с брусом. В них возникают усилия  и . Система один раз статически неопределима: .

На рис. 3.32 б показана основная система. Каноническое уравнение метода сил

 ,                                    (3.16)

где  - продольное усилие, возникающее в первом стержне за счет повышения температуры на  С;  - взаимное смещение конца первого стержня и жесткого бруса в ;  - взаимное смещение конца первого стержня и жесткого бруса за счет повышения температуры.

Коэффициент  определяем, умножая эпюру  «саму на себя» по способу Верещагина (рис. 3.32 в):

.

Площади единичной эпюры продольных сил (рис. 3.32 в) обозначим

.

Формулу для расчета температурного перемещения  выведем, используя интеграл Мора, который преобразуем в конечную сумму, т.к. продольная сила по длине каждого стержня постоянна. Для грузового перемещения

Первый множитель является удлинением стержня от силового