Методы оптимизации в научных исследованиях. Задачи оптимизации. Задача о наилучшей емкости. Одномерные задачи оптимизации

3. МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЯХ

3.1. Задачи оптимизации

Явно или неявно мы встречаемся с оптимизацией в любой сфере человеческой деятельности от сугубо личного до самого высокого общественного уровня. Экономическое планирование, управление, распределение ограниченных ресурсов, анализ производственных процессов, проектирование сложных объектов и т.д. всегда должно быть направлено на поиск наилучшего варианта с точки зрения намеченной цели. Это – важнейшее условие научно-технического прогресса.

Нас прежде всего будет интересовать оптимизация в смысле поиска наилучших путей протекания технологического процесса.

При небывалом разнообразии задач оптимизации только математика может дать общие методы их решения. Однако, для того чтобы воспользоваться математическим аппаратом, необходимо сначала сформулировать интересующую нас проблему как математическую задачу, придав количественные оценки возможным вариантам, количественный смысл словам «лучше», «хуже».

Многие задачи оптимизации сводятся к отысканию наименьшего (или наибольшего) значения некоторой функции, которую принято называть целевой функцией или критерием качества. Постановка задачи и методы исследования существенно зависят от свойств целевой функции и той информации о ней, которая может считаться доступной в процессе решения, а также которая известна априори.

Задача оптимизации – задача отыскания глобального экстремума, т.е. наибольшего (наименьшего) из всех возможных. По сравнению с глобальным экстремумом все прочие называются локальными.

Целевая функция – это совокупность измеренных, либо вычисленных показателей объектов, отражающая в строгой математической форме цель эксперимента.

Целевая функция может содержать непосредственно измеренные величины, например, выход продукта и содержание ценного компонента в нем, в виде

g_кон ® max

b_кон = b_зад.

Важной особенностью целевой функции является невозможность обеспечения в рамках одного процесса, при одном и том же наборе управляющих факторов, максимального (минимального) значения двух и более показателей.

Поэтому, если число выходных показателей равно К, то целевую функцию следует формулировать, например, в виде

y₁ ® max (min);

y₂ = A;

y₃ ³ B;

……..

y_k = M, т.е требовать получения максимального либо минимального значения только одного, например, первого показателя, а на все остальные накладывать ограничения в виде равенств или неравенств .

Таким образом, формулируя оптимизируемый показатель, следует выделить и добавить к нему все необходимые ограничения, получив тем самым разумную целевую функцию.

Ограничения – это любые условия, накладываемые на возмож-ность  изменения факторов, выходных показателей, входных возмущающих воздействий, ресурсов и времени.

Ограничения бывают принципиальны е (условия физической осуществимости), технические и экономические.

Факторами называют изменяемые в процессе эксперимента условия проведения опытов. Обычно изменяют какие-либо конкретные величины, например, расход реагентов, продолжительность опытов, массу навески и т.д.

3.2. Задача о наилучшей емкости

Перед вами поставили задачу: указать наилучший вариант емкости фиксированного объема V, имеющей обычную форму прямого кругового цилиндра. Получив такое задание, вы неизбежно должны спросить: «По какому признаку следует сравнивать емкости между собой, какая емкость  считается наилучшей?» Иными словами вы попросите указать цель оптимизации.

Рассмотрим следующий вариант этой задачи:

Наилучшая емкость должна иметь наименьшую поверхность S; в этом  случае на её изготовление пойдет наименьшее количество металла.

Для решения этой задачи запишем формулы для объема емкости и площади её поверхности.

V = pr²h, S = 2pr²h + 2prh = const.

Объем емкости задан, это устанавливает связь между радиусом r и высотой   h. Выразим высоту через радиус  h = V/(pr²)  и подставим полученное выражение в формулу для поверхности. В результате получим

S(r) = 2pr² + 2V/r ® min

0 < r < ¥

Таким образом, с математической точки зрения, задача о наилучшей емкости сводится к определению такого значения r , при котором достигает своего наименьшего значения функция S(r).

Вычислим производную функции S(r):

S¢(r) = 4pr - 2 V/r² = 2/r²(2pr³ – V) = 0

и исследуем её знак. При  0 < r < r₁ = ³Ö V/2p производная отрицательна и функция S(r) убывает