Прикладная математическая статистика. Получение гистограмм распределения. Получение начальных и центральных моментов выборочного распределения, страница 2

Делаем аналогичные расчеты и для Y_i

y_min= 25,66

y_max= 78,50

  –  шаг интервала где, к – число интервалов равное 8  

Находим частоту попадания случайных величин в каждый из интервалов и составляем вспомогательную таблицу 3., для построения  гистограмм.

Таблица 3

Интервалы Yi		ni	Σ ni	Pi	ΣPi
78,50	71,90	7	7	0,14	0,14
71,90	65,29	7	14	0,14	0,28
65,29	58,69	8	22	0,16	0,44
58,69	52,08	11	33	0,22	0,66
52,08	45,48	10	43	0,2	0,86
45,48	38,87	1	44	0,02	0,88
38,87	32,27	3	47	0,06	0,94
32,27	25,66	3	50	0,06	1

Рис.3 Гистограмма распределения  Y_i от P_i

Рис.4 Гистограмма распределения  Y_i от

II. Получение начальных и центральных моментов выборочного

распределения

Начальные моменты выборочного распределения рассчитываются по формуле:

, где M_s - начальный момент s-го порядка;

x_i - i-ое значение величины, i=1,2,…N.

Центральные моменты рассчитываются по формуле:

, где m_s - центральный момент s-го порядка;

среднее арифметическое, . (начальный момент первого порядка).

Наиболее часто на практике используется центральный момент второго порядка (оценка дисперсии):

, а также (среднее квадратичное отклонение).

Для оценки формы кривой распределения используются центральные моменты третьего и четвертого порядков, которые высчитываются по формулам:

;       ,

Значение начальных и центральных моментов (для Х_i)

Таблица 4

М1	М2	М3	М4	m1	m2	m3	m4
21,958	560,766	16697,984	570017,910	0,000	78,612	932,362	28235,869

Для оценки степени асимметрии распределения используется коэффициент асимметрии:

,

а для оценки характеристики степени “крупности” - показатель эксцесса:

,

Для оценки близости распределения к нормальному рассчитываются вспомогательные коэффициенты:

  и  .

Если , а  соблюдается, то закон распределения можно считать нормальным.

По расчету получается:

Таблица 5

Sx	Sk	Ex	U3	U4
8,956	1,298	1,388	0,330	0,622

Вывод: Т.к. условия , а  не соблюдается, то закон распределения можно считать ненормальным.

Значение начальных и центральных моментов (для Y_i)

Таблица 6

М1	М2	М3	М4	m1	m2	m3	m4
56,673	3393,698	211842,675	13659673,989	0,000	181,892	-1104,311	89107,146

Для оценки степени асимметрии распределения используется коэффициент асимметрии:

,

а для оценки характеристики степени “крупности” - показатель эксцесса:

,

Для оценки близости распределения к нормальному рассчитываются вспомогательные коэффициенты:

  и  .

Если , а  соблюдается, то закон распределения можно считать нормальным.

По расчету получается:

Таблица 7

Sx	Sk	Ex	U3	U4
13,624	-0,437	-0,413	0,330	0,622

Вывод: Т.к. условия , а  соблюдается, то закон распределения можно считать нормальным.

III. Получение коэффициента корреляции

Вычисление коэффициента корреляции удобно производить по следующей формуле:

.

Таблица 8

N	SXi	SYi	SXiYi	SX2i	SY2i
50	1097,900	2833,640	57042,300	28038,290	169684,897

r_xy= -0,86617

IV. Нахождение теоретической линии регрессии

Для нахождения по методу наименьших квадратов коэффициентов линейного уравнения Y=a+bx можно воспользоваться следующими формулами:

;        

Остаточная дисперсия рассчитывается по формуле:

Рис.5 Линия регрессии