Вычисление поверхностных интегралов первого и второго типов, предназначенные для выполнения индивидуальных типовых расчётов

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

ТЕХНИЧЕСКИЙ  УНИВЕРСИТЕТ им. Р.Е. Алексеева

Кафедра «Прикладная математика»

ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Методическое пособие

Нижний Новгород 2011

Составители: С.Н. ,

УДК 517

Поверхностные интегралы. Методическое пособие / С. Н. , Л.Ю.  .  НГТУ, Н. Новгород, 2011 - 30с.

Методическое пособие содержит изложение лекционного материала по разделу «Поверхностные интегралы». Приведены задачи на вычисление поверхностных интегралов первого и второго типов, предназначенные для выполнения индивидуальных типовых расчётов.

Подписано в печать .     Формат 60х84 1/16. Бумага газетная.

Печать офсетная. Усл. п. л.    . Уч.-изд. л.  . Тираж  300 экз. Заказ     .

Нижегородский государственный технический университет.

Типография НГТУ.603950, Нижний Новгород, ул.Минина, 24.                    

© ,

©Нижегородский государственныйтехнический университет им. Р.Е. Алексеева, 2011

ПРЕДИСЛОВИЕ

Тема «Поверхностные интегралы» представляет собой один из наиболее сложных разделов, изучаемых в рамках курса «Математический анализ».  Эта сложность обусловлена  двумя причинами: сами поверхностные интегралы являются довольно сложными математическими понятиями, для хорошего усвоения которых требуется немало времени, выделить достаточное количество времени для её подробного изучения в рамках лекционного курса никогда не удаётся.

Проблема нехватки времени наложила свой отпечаток на изложение материала во всех известных учебниках, исключая «Курс дифференциального и интегрального исчисления» Г. М. Фихтенгольца в трех томах. Во всех учебниках разделы, входящие в первую половину курса «Математический анализ», такие как «Пределы», «Производная» «Неопределенный и определенный интеграл», «Ряды» и т.п., изложены методически примерно одинаково и, в общем, отличаются лишь второстепенными деталями. Но тема «Поверхностные интегралы» в различных учебниках излагается по-разному. Изложение материала отличается не только полнотой, но и последовательностью введения основных понятий и их взаимозависимостью друг от друга.

В предлагаемом методическом пособии весь учебный материал по поверхностным интегралам изложен последовательно и с достаточной полнотой, чтобы им можно было уверенно пользоваться. В принципиальном плане изложение материала соответствует «Курсу дифференциального и интегрального исчисления» Г. М. Фихтенгольца. Однако, за счет того, что материал дан не в такой общности, как в вышеупомянутой книге, его объём удалось значительно сократить, а доказательства упростить. Материал расположен так, чтобы доказательства были не слишком длинными.Данное учебное пособие включает ряд параграфов, обычно изучаемых в предыдущих разделах курса математического анализа. К ним относятся: «Определение компонент вектора, направленного по касательной», «Определение направляющих косинусов нормали» и «Формула Грина».

Весь материал рассчитан на изложение в пределах 4-х лекций и содержит по 16 задач на вычисление поверхностных интегралов первого и второго типов, предназначенных для выполнения индивидуальных типовых расчётов.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОМПОНЕНТ ВЕКТОРА, НАПРАВЛЕННОГО ПО КАСАТЕЛЬНОЙ

Рассмотрим в трёхмерном пространстве с декартовой системой координат  некоторую кривую , заданную параметрическими уравнениями

, , , .                    (1)

Выясним, как имея уравнение (1), определить компоненты вектора касательной к кривой. По своему определению, касательная – это предельное положение секущей.

Рис. 1.

Пусть  - переменный вектор (рис. 1), начало которого закреплено в начале координат, а конец скользит по линии , т.е. , где , ,  - единичные орты. С учетом уравнения (1) имеем.

Возьмём приращение  параметра , тогда.Вектор представляет собой секущую кривой . Рассмотрим отношение. Это вектор, коллинеарный с вектором , так как получается из него умножением на скалярный множитель . Можно записать этот вектор так:

Если функции ,  и  дифференцируемы, то:.Вектор, определяемый последним равенством, называется производной от векторапо скалярному аргументу . Производную обозначают символом . Таким образом

Выясним направление вектора.Так как при , точка  приближается к точке , то направление секущей  в пределе даёт направление касательной. Следовательно, вектор производной  направлен по касательной к кривой  в точке . Компоненты вектора , направленные по касательной, равны:, а его длина определяется формулой:.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАПРАВЛЯЮЩИХ КОСИНУСОВ НОРМАМИ

Пусть имеется поверхность, уравнение которой имеет вид ,  - произвольная точка на заданной поверхности.Пересечём заданную поверхность плоскостью, проходящей через заданную точку  параллельно координатной плоскости .Уравнение такой плоскости имеет вид. Пересечение поверхностис плоскостью  даёт некоторую кривую , параметрические уравнения которой имеют вид: , ,  (здесь  - параметр).Вектор, касательный к линии , будет иметь вид .В точке : .

Также пересечём поверхностьплоскостью , через точку  параллельно