Вводные замечания и правила отчетности. Сложение векторов. Умножение на число. Скалярное произведение

Страницы работы

34 страницы (Word-файл)

Фрагмент текста работы

каким знаком входят в определитель 6-го порядка произведения:

а) a23a31a42a56a14a65; б)

Задача. Вычислить определитель  .

Решение. Упростим определитель, пользуясь его свойствами: из

4-ой строки вычтем 1-ую:

¯

 .

Поясним сделанные преобразования: (1) - к 1-ой строке прибавили 2-ую строку, умноженную на 3; (2) - к 4-ой строке добавили 2-ую.

Теперь разложим определитель по 1-ому столбцу:

 .

Из 3-его столбца вычтем удвоенный 1-ый столбец, затем разложим по 3-ему столбцу

.

29.  Исходя только из определения детерминанта, доказать, что определитель матрицы

α1 α2 α3 α4 α5

β1 β2 β3 β4 β5

                                                           a1   a2      0      0    0 

                                                                                                   

b1 b2 0 0 0  c1 c2 0 0 0

равен нулю.

30.  Разложить по элементам 1-го столбца и вычислить определитель матрицы     a 1 1 1

b 0 1 1

                                                 .

c 1 0 1 d 1 1 0

31.  Пользуясь формулой Крамера, вычислить A−1, если:

            .

                            0 0      1

32.  Найти ранг матрицы:

          0      4    10    1

       10 18 40 174      8         18       7 .

                1     7    17    3

Задача. Решить систему[3]

 .

Решение. Вычитаем из 2-ой строки утроенную 1-ую, из 3-ей утроенную 1-ую, из 4-ой – 1-ую. Получим

                                                                                         ¯           

                                                           1     1       2           3 ¯¯ 1

 0 −4 −5 −11 ¯¯ −7

                                                                                         ¯            .

                                                      0      1     −5       −7 ¯¯ −8 

                                                           0     1       1         −4 ¯ −5

Вторую строку умножим на (-1) и переставим 2-ую и 4-ую строки (это делается для удобства счета). Дальнейшие переходы обозначены стрелками:

                        1 1       2          3 ¯¯ 1               1 1       2           3 ¯¯ 1 

                                                                ¯                                                         ¯

→  0 10 1 −15 −−47 ¯¯¯¯ −5  →  0 10 1 −16 −−34 ¯¯¯¯ −−53 

−8

                                                                ¯                                                         ¯

0  4          5         11       7         0 0      1         27       27

                                                           1 1 2            3 ¯¯ 1 

¯

 0 1 1 −4 ¯¯ −5 

                                                           0 0 1       27 ¯¯ 27

¯

                                                     0 0 2¯   1         1 1 1 2          3 ¯¯ 1 

1  1 2      3 ¯¯     1         ¯

                           0 1 1        −4 ¯¯ −5              0 1 1 −4 ¯¯ −5 .

                  →                                ¯                  → 0 0 1         27 ¯¯ 27

                             0 0 1           27 ¯¯ 27                                            ¯

                                      0 0 0 −58 ¯ −58                           0 0 0       1         1

Прямой ход выполнен, система оказалась совместной. Так как ранг левой части равен числу неизвестных, то решение единственно (это случай крамеровой системы).

Теперь совершаем обратный ход: из 3-ей строки вычитаем 4-ую, умноженную на 27, к 2-ой строке прибавим 4-ую, умноженную на 4, из 1-ой вычитаем 4-ую, умноженную на 3:


                              1 1 2            3 ¯¯ 1                      1 1 2 0

¯

→ 0 1 1 −274 ¯¯¯¯ −275  →  0 1 1 00 0 1 0

0 0 1

¯

                                     0 0 0       1         1                            0 0 0 1

                                      1 1 0 0 ¯¯ −2                        1 0 0 0

¯

→  0 1 0 00 0 1 0 ¯¯¯¯ −1  →  0 1 0 00 0 1 0

0

¯

                                           0 0 0 1          1                            0 0 0 1

Ответ: x1 = −1, x2 = −1, x3 = 0, x4 = 1.

33.  Решить систему:

x1 − 2x2 + x3 + x4 = 1,

x1 − 2x2 + x3 x4 = −1, x1 − 2x2 + x3 + 5x4 = 5.

Задача. Вычислить обратную для матрицы[4]

 .

Решение.

 ¯   ¯ 2 2 3 ¯ 1 0 0 1 −1 0 ¯

¯        ¯  1   −1 0 ¯¯ 0 1 0  →  2       2         3 ¯¯

                                                 ¯                                                             ¯

                     −1     2     1       0 0 1                       −1     2         1

 ¯   ¯ 1 −1 0 ¯ 0 1 0 1 −1 0 ¯

¯            ¯ →  0          4         3 ¯¯ 1 −2 0  →  0          1         1 ¯¯

¯            ¯ 0       1         1         0         1         1         0         0        −1

 ¯   ¯ 1 0 0 ¯ 1 −4 −3 1 0 0 ¯

                                               ¯                                                               ¯

          →  0 1                           0 ¯¯ 1 −5 −3  →  0 1 0 ¯¯

¯         ¯ 0 0 −1         1 −6 −4         0 0 1

¯ −2

¯

¯

¯ −1  →

¯

¯ 0

¯

¯

1

¯ −1

¯

¯

¯ −1  .

¯

¯ 0

¯

¯

1

0  1 0

1  0 0  →

0 0 1

0      1       0

0  1 1  →

1  −6 −4

1 −4 −3 1 −5 −3  .

−1      6       4


Ответ: .

34.  Вычислить обратную матрицу для данной матрицы A:

                .

1 0 1

35.  Являются ли векторы (1,2,0), (0,1,0), (−1,0,2) линейно зависимыми?

Глава 2

§2.1.             Программа коллоквиума во 2 семестре.

Линейные пространства (вещественные и комплексные), определение, аксиоматика и простейшие следствия, примеры линейных пространств. Линейная зависимость и независимость, примеры. Шесть теорем о линейной зависимости и независимости. Базис в линейном пространстве, теорема о единственности разложения по базису. Размеренность пространства: теорема "подготовительная"и теорема о базисности набора из n линейно-независимых векторов в n-мерном пространстве. Примеры базисов. Изоморфизм линейных пространств. Сохранение линейной зависимости (независимости) при изоморфизме. Критерий изоморфности конечномерных линейных пространств. Примеры. Подпространства (п/п). Сумма и пересечение подпространств. Прямая сумма п/п. Единственность разложения в прямую сумму. Формула для размерности суммы п/п (без доказательства). Примеры. Подпространство решений однородной линейной системы уравнений. Его размерность. Базис и фундаментальная система решений. Общее решение. Неоднородная линейная система (НЛС). Общее решение НЛС.

Линейные операторы в линейных пространствах. Примеры. Матрица оператора. Пространство операторов и базис в нем, размерность. Композиция операторов и матрица композиции. Собственные значения и собственные векторы матриц. Линейная независимость собственных векторов для матриц с простым спектром. Характеристический полином матрицы и вычисление его некоторых коэффициентов. Алгебраическая и геометрическая кратности. Теорема о соотношении алгебраической и геометрической кратностей (с доказательством). Подобные матрицы. Инварианты подобия. О приведении матрицы к диагональному виду подобным преобразованием (Основная теорема). Преобразование координат вектора и матрицы оператора при замене базиса. Функции от матриц. Два способа определения. Тождество Кэли (без доказательства).

Билинейные формы. Квадратичные формы. Приведение квадратичной формы к сумме квадратов. Метод Лагранжа и другие методы. Закон инерции квадратичной формы. Индексы инерции.

Ядро и образ оператора. Теорема Фредгольма о разрешимости линейного уравнения.

Евклидовы пространства. Аксиомы скалярного произведения в вещественном евклидовом пространстве. Неравенство Коши-Буняковского-Шварца и неравенство треугольника. Примеры. Лемма < Ax,y >Rn= < x,Aty >Rn. Комплексные евклидовы пространства. Неравенство Коши-Буняковского-Шварца и неравенство треугольника. Примеры. Лемма < Ax,y >Cn=< x,Ay >Cn. Ортогональность и линейная независимость. Теорема Пифагора. Угол между векторами. Ортонормированая система. Примеры. Ортогонализация системы векторов по Шмидту.

Коллоквиум (начало апреля).

Задачи 1-9 соответствуют материалу коллоквиума, остальные – материалу экзамена во втором семестре.

2.1.1.           Линейные пространства.

Задача. Решить однородную систему  .

Решение. В результате последовательных преобразований получаем

                                                      ¯       

                                 1 −2 1         1 ¯ 0                 µ                           ¯       ¶

¯

                         0      0        0 −2 ¯¯¯ 0  →      10 −02 1 10 1 ¯¯¯ 00   →

                               0     0     0     4       0

                                                                  µ                           ¯       ¶

                                                         →      1 −2 1 00 1 ¯¯¯ 00     .

                                                                        0     0

Ранг матрицы левой части равен двум, следовательно, можно выразить два неизвестных через остальные. Выберем в качестве базисного минора, например, минор, образованный 1-м и 4-м столбцами, тогда 1-е и 4-е неизвестные определятся единственным образом через 2-е и 3-е. Значения 2-го и 3-го неизвестного остаются произвольными, эти неизвестные называются свободными, а 1-е и 4-е главными.

Ответ: x1 = 2x2 x3 , x4 = 0, векторы-столбцы (−1,0,1,0)t, (2,1,0,0)t образуют базис в пространстве решений.

Задача. Решить систему

 .

Решение. Система отличается от предыдущей наличием правых частей. Совершая аналогичные преобразования, получаем равносильную систему

Похожие материалы

Информация о работе

Тип:
Задания на контрольные работы
Размер файла:
618 Kb
Скачали:
0