Ориентация поверхности с параметризацией :Rk !Rn, определяется ориентацией пространства локальных координат Rk. Эта ориентация может быть также определена как непрерывная ориентация касательных пространств к поверхности (т.е. посредством задания базиса касательных векторов, непрерывно зависящего от точки поверхности). В случае гиперповерхности ориентация может быть задана при помощи трансверсальной ориентации, т.е. посредством непрерывной ориентации нормалей к гиперповерхности, с одновременным заданием ориентации объемлющего пространства. Именно, гладкое нормальное векторное поле n определяет ориентацию гиперповерхности с касательным базисом 1;::: n 1, если вектора n; 1;::: n 1 определяют ориентацию Rn.
Интеграл от n-формы !=f по множеству D в стандартно ориентированном пространстве Rn с формой объема =dx1 ^:::^ dxn определяется равенством
Z !=Z f=Z f(x1;:::xn)dx1 :::dxn :
D D D
При изменении ориентации ( ! ) интеграл меняет знак.
Интеграл от k-формы ! по ориентированной k-мерной поверхности с параметризацией :Rk !Rn определяется равенством
!=Z
!; = (D):
D
Интеграл от формы {F по гиперповерхности называется потоком вектора F через поверхности . В трехмерном случае
ZZ {F =ZZ F dS=ZZ Pdy^dz+Qdz^dx+Rdx^dy;
где F=(P;Q;R);dS=(dy^dz;dz^dx;dx^dy). Равенство
ZZ F dS=ZZ F ndS;
где n — вектор единичной нормали, согласованный с ориентацией поверхности , устанавливает связь поверхностных интегралов 2го и 1-го родов.
Физический смысл интеграла
ZZ v dS
— количество жидкости, протекающей через со скоростью v в единицу времени.
Задача Найти поток вектора F=(x2 +y2 +z2)~i через [боковую]
поверхность
конуса y=px2 +z2 ; 06y6h, ориентированную внешней
нормалью.
Решение. В качестве локальных координат на конусе можно было бы выбрать x и z. Согласование с заданной ориентацией диктует именно этот порядок локальных координат: (x;z) (вектор внешней нормали составляет с осью y тупой угол). Более удобно сразу воспользоваться переходом к полярным координатам. Таким образом, приходим к следующей параметризация поверхности
x=rcos’; y=r; z=rsin’; r2[0:h]; ’2[0;2 );
с ориентацией, определенной порядком (r;’) локальных координат (ввиду, например, равенства dx^dz=rdr^d’ и положительности r). Тогда, искомый поток равен
ZZ(x2 +y2 +z2)dz^dx= ZZ 2r2 rdr^d’
[0;h] [0;2 ]
2 h
= ZZ 2r3 drd’= 2Z d’Z r3 dr= h4 :
[0;h] [0;2 ] 0 0
Задача Найти поверхностный интеграл
ZZ
dy^dz dz^dx dx^dy
+ + ; x y z
где — поверхность эллипсоида
x2 y2 z2
2 +b2 +c2 =1; a
ориентированная внешней нормалью.
Решение. Параметризуем поверхность эллипсоида равенствами
x=acos’sin; y=bsin’sin; z=ccos;
’2[0;2 ); 2[0; ]: Ориентация внешней нормалью приводит к следующему порядку локальных координат: (;’). Обозначая параметризацию через , найдем сужение базисных форм на поверхность эллипсоида:
(dy^dz)=bc(cos’sind’+sin’cosd)^( sin )d
=bcsin2 cos’d ^d’
(dz^dx)=ac( sin )d ^( sin’sind’+cos’cosd)
=acsin2 sin’d ^d’
(dx^dy)=ab( sin’sind’+cos’cosd)
^(cos’sind’+sin’cosd) =abcos sind^d’:
Тогда
|
x y z |
|
|
bc ac = ZZ [0; ] [0;2 ] |
ab + |
|
bc ac ab
[0; ] [0;2 ] |
bc ac ab 2
0 0 |
bc ac ab
=4
+ + : a b c
Первая квадратичная форма g поверхности это функция, вычисляющая квадрат длины касательного вектора v к поверхности
g(v)=jvj2 :
Если u = @u@r ; v = @v@r — базис касательных векторов, отвечающих локальным координатам u;v на поверхности (r — радиус-вектор точки поверхности), то
g=dl2 =Edu2 +2Fdudv+Gdv2 ;
где du;dv — дуальный базис координатных 1-форм и
E=j uj2 ; F= u v ; G=j vj2 :
Матрица
E F g=
F G
называется метрическим тензором поверхности .
Если — единичный вектор нормали к поверхности, то его производная Dv по касательному вектору v снова будет касательным вектором к поверхности. Отображение касательных векторов
L: v!7 Dv
называется отображением Вейнгартена. Это отображение симметрично
L(v) w=vL(w):
Квадратичная форма
b(v)=L(v) v
называется второй квадратичной формой поверхности . В координатном виде
b=Ldu2 +2Mdudv+Ndv2 ;
|
где |
|||||
|
Величина |
@2r L= |
; |
@2r M= @u@v |
@2r N= |
: |
b(v)
{(v)=
g(v)
называется нормальной кривизной поверхности в направлении касательного вектора v.
Собственные векторы отображения Вейнгартена называются главными направлениями на поверхности. Нормальные кривизны в главных направлениях совпадают с соответствующими собственными значениями отображения Вейнгартена и называются главными кривизнами. След отображения Вейнгартена, равный сумме главных кривизн, называется средней кривизной, а определитель отображения Вейнгартена, равный произведению главных кривизн, называется полной или Гауссовой кривизной. При этом
GL 2FM+EN LN M2
H=trL=
EG
F 2 ; K=detL=
EG F 2 :
В случае полугеодезических координат, то есть ровно тех, в которых первая квадратичная форма поверхности имеет вид
dl2 =du2 +Gdv2
полная кривизна может быть вычислена по формуле
(pG)00uu
K= p
:
G
Задача Найти первую и вторую квадратичные формы поверхности z=2xy. Вычислить ее среднюю и гауссову кривизну в точке
(0;0;0).
Решение:
В качестве локальных координат на поверхности выбираем
(x;y):
=y1: x
@2xyA
Находим касательные вектора:
|
1 @ x = @x @2yA Тогда |
0 @ y = @y @2xA |
E= x2 =1+4y2 ; F= x y =4xy; G= y2 =1+4x2
и первая квадратичнсая форма определена равенством
dl2 =Edx2 +2Fdxdy+Gdy2 :
Вычислим, далее:
@x
@2 2 =~0; @x@y
@2 =0@020A1; @y
@2 2 =~0:
Найдем единичный нормальный вектор к поверхности:
~n= x y =
( 2y; 2x;1) : j x yj p1+4x2 +4y2
Тогда
@2 @2 2
L=@x2
~n=0; M=@x@y
~n=
1+4x2 +4y2 ;
@2
N=@x2
~n=0:
и вторая квадратичная форма определена равенством
b=Ldx2 +2Mdxdy+Ndy2 :
В точке (0;0;0) матрица метрического тензора равна
E F 1 0
g= = :
F G 0 1
Тогда матрица отображения Вейнгартена равна
L=g 1 L M = 0 2 :
M N 2 0
Средняя и полная кривизны в этой точке, соответственно, равны
H=trL=0; K=detL= 4:
Задача Найти первую и вторую квадратичные формы поверхности
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.
sin
+ 
sin
a b
=001;
=011: