Общие свойства систем линейных алгебраических уравнений. Матричная запись систем линейных алгебраических уравнений. Критерий существования нетривиального решения однородной системы

ортогональным преобразованием подобия к диагональному виду.

5.  Привести унитарным преобразованием подобия к диагональному виду самосопряженную матрицу

 , где i — мнимая единицу, т.е. i² = −1.

6.  Привести унитарным преобразованием подобия к диагональному виду ортогональную матрицу

 .

Квадратичные формы. Кривые и поверхности второго порядка

1.Выразить квадратичную форму

,

через координаты вектора f~. Решение.

                     µ           ¶ µ ¶          µ              ¶

Af~ =          1 2      ·     x      =      x + 2y     ,

                          2 1            y              2x + y

(Af,~ f~) = (x + 2y)x + (2x + y)y = x² + 4xy + y².

2.  Найти симметричную 3 × 3-матрицу A, отвечающую квадратичной форме Φ(x,y,z) = x² − 3xy + yz:

Φ(x,y,z) = x² − 3xy + yz = (Af,~ f~), f~ = (x,y,z)^t. Решение. Для симметричной матрицы

 ,

и вектора f~ = (x,y,z)^t справедливо равенство

(Af,~ f~) = ax² + dy² + fz² + 2bxy + 2cxz + 2eyz.

Сравнивая последнее выражение с исходной квадратичной формой Φ(x,y,z) = x² − 3xy + yz, получим: , т.е.

 .

3.  Привести квадратичную форму

Φ(x,y,z) = x² + 2xy + 2y² + 4xz + 5z²

к сумме квадратов методом Лагранжа (выделением полных квадратов). Определить какого типа поверхность задает уравнение Φ(x,y,z) = 1.

Решение. Выделим полный квадрат из слагаемых содержащих переменную x:

Φ = (x + y + 2z)² + y² + z² − 4yz.

Сделаем замену переменных:

,

и получим Φ = x²₁+y₁²+z₁²−4y₁z₁. Выделив в последнем выражении полный квадрат, прийдем к равенству

.

Сделав замену переменной

,

окончательно получим Φ = x²₂ + y₂² − 3z₂². Уравнение Φ(x,y,z) = 1 ⇐⇒ x²₂ + y₂² − 3z₂² = 1 задает однополстной гиперболоид. Отметим, что метод Лагранжа не дает возможности определить полуоси гиперболоида. Разные замены переменных могут привести к уравнению α₁x˜² + α₂y˜² + α₃z˜² = 1, и коэффициенты α₁, α₂ и α₃ зависят от используемой замены переменных. При этом, согласно закону инерции квадратичных форм, число положительных, отрицательных и нулевых чисел среди α₁, α₂ и α₃ не зависит от замены переменных, что и позволяет определить тип поверхности.

4. Привести квадратичную форму

Φ(x,y,z) = 2x² + y² − 4xy − 4yz

к сумме квадратов при помощи ортогонального преобразования. Определить какого типа поверхность задает уравнение Φ(x,y,z) = 1 и найти метрические характеристики этой поверхности.

Решение. Квадратичная форма Φ(x,y,z) = 2x² + y² − 4xy − 4yz может быть записана в виде

Φ(x,y,z) = (Af,~ f~), где .

Приведем матрицу A ортогональным преобразованием подобия к диагональному виду. Это заведомо возможно, т.к. матрица симметрична. Характеристический многочлен матрицы A имеет вид

¯

.

Можно найти нормированные собственные векторы,

, отвечающие собственным значениям

λ₁ = 1, λ₂ = −2, λ₃ = 4. Векторы  автоматически оказываются ортогональными друг другу и образуют ортонормированный базис в R³.

Составим теперь ортогональную матрицу T из столбцов:

 .

Делая в квадратичной форме Φ(x,y,z) = 2x²+y²−4xy−4yz замену переменных

,

получим Φ = λ₁x²₁ + λ₂y₁² + λ₃z₁² = x²₁ − 2y₁² + 4z₁². Уравнение Φ(x,y,z) = 1 ⇐⇒ x²₁ − 2y₁² + 4z₁² = 1 задает однополостной гиперболоид с полуосями  (вещественными) и  (мнимой).

5.  Методом Лагранжа преобразовать уравнение x₁x₂ + x₁ + x₂ = 1 к стандартному виду и определить тип кривой. Решение. Сделав следующее преобразование координат

получим уравнение . Выделяя в этом уравнении полный квадрат:

,

и делая новую замену переменных:

,

получаем

.

Таким образом, уравнение задает гиперболу. Определить ее полуоси методом Лагранжа невозможно.

6.  Ортогональным преобразованием и сдвигом преобразовать уравнение x² + y² + z² − 2xy − 2zx − 2yz + 2x = 1 к стандартному виду, определить тип поверхности и ее метрические характеристики. Решение. Прежде всего приведем квадратичную форму Φ(x,y,z) = x² + y² + z² − 2xy − 2zx − 2yz к каноническому виду ортогональным преобразованием. Квадратичная форма Φ(x,y,z) может быть записана в виде

.

Диагонализуем симметричную матрицу A ортогональным подобным преобразованием. Характеристический многочлен матрицы A имеет вид d_A(λ) = −(λ − 2)²(λ + 1). Решая задачу (A − 2I)~x = ~0, получим общее решение ~x = C₁(−1,1,0)^t +

C₂(−1,0,1), ортогонализуя и нормируя полученную фундаментальную систему решений, получаем два ортогональных и нормированных собственных вектора, отвечающих собственному значению

.

Третий нормированный собственный вектор, ортогональный двум пред_√ыдущи_√м, соо_√тветствует собственному значению

(1/     3,1/    3,1/    3)^t. Далее, составим ортогональную матрицу T из столбцов:

 .

При замене переменных

,

уравнение переходит в следующее:

1.  Выделим в последнем уравнении полные квадраты:

.

Сделав замену переменной

,

приходим к уравнению 2x²₂ + 2y₂² − z₂² = 1 однополостного гиперболоида с полуосями  (последняя полуось — мнимая). Задачи для самостоятельного решения 1. Выразить квадратичную форму

,

через координаты вектора f~.

2.  Найти симметричную 3 × 3-матрицу A, отвечающую квадратичной форме