Пусть производится n одинаковых экспериментов,
в каждом из которых может произойти одно из несовместных событий ,
образующих полную группу.
Все события рассматриваются на одном пространстве
элементарных исходов W. Для моделирования последовательности испытаний
построим новое пространство элементарных исходов :
,
где
;
–
номер случайного события, произошедшего в k-м испытании;
–
последовательность длины n номеров событий, произошедших в каждом из
испытаний.
Пусть – случайное событие, которое заключается в том, что в
k-м испытании произошло событие с номером
, тогда
;
Последовательность испытаний называется независимой, если результаты предшествующих испытаний не влияют на результаты последующих испытаний.
В этом случае естественно считать, что условные вероятности перечисленных выше событий совпадают с безусловными вероятностями
.
Обозначим вероятности событий через
, т.е.
, тогда
, (1.10)
где .
Если – обычная алгебра случайных событий, то
(1.11)
Получили вероятностное пространство, которое называется полиномиальной схемой.
Рассмотрим частный случай полиномиальной схемы – схему Бернулли.
1.4.1. Схема Бернулли
Рассмотрим два противоположных события,
т.е. . В каждом испытании может произойти лишь
одно случайное событие. Считаем, что испытания независимы, т.е. применима
формула (1.10). Если в k-м испытании произошло событие А, то этот
исход назовем успехом и припишем ему значение равное 1. Если в k-м
испытании событие А не произошло, то это неудача, припишем этому
исходу значение, равное 0. Тогда
,
где – последовательность длины n,
состоящая из 0 и 1.
Обозначим вероятность события , тогда
.
Пусть – число успехов в n испытаниях, тогда по формуле (1.10)
вероятность произвольного исхода будет равна
. (1.12)
Наибольший интерес в этой схеме
представляет случайное событие , заключающееся в том, что в n
независимых испытаниях событие А произошло m раз.
Теорема 1.1. Вероятность события вычисляется по формуле
(1.13)
– формула Бернулли.
Доказательство. В соответствии с определением вероятности случайного события (1.11), (1.12) получаем
,
где .
Необходимо найти только число элементарных
исходов, благоприятствующих событию , а это число будет совпадать с числом
способов, которыми в последовательности длины n можно выбрать m
номеров испытаний, в которых произошло событие А, т.е.
, откуда и следует формула (1.13).
Пример 1.11. Что вероятнее выиграть у равносильного шахматиста: две партии из четырех или три из шести (ничьи не учитываются).
Решение. Событие А – выигрыш в партии одним из игроков, тогда по условию
.
1) При n = 4, m = 2 по формуле (1.13) находим
;
2) При n = 6, m = 3, получаем
,
т.е. вероятность выигрыша двух партий из четырех больше, чем трех из шести.
1.4.2. Общая полиномиальная схема
Рассмотрим общую полиномиальную схему сr случайными событиями и найдем вероятность случайного события , которое заключается в том, что событие
произошло
раз, событие
произошло
раз, …, событие
произошло
раз
.
Теорема 1.2. Вероятность события вычисляется по формуле
(1.14)
где .
Доказательство. Вероятность этого случайного события
.
Осталось найти число элементарных исходов,
благоприятствующих событию
. Это число будет равно числу способов,
которыми в последовательности длины n можно выбрать
номеров испытаний, в которых произошло событие
,
номеров испытаний, в которых произошло событие
, …,
номеров испытаний, в которых произошло
событие
(см. схему), т.е. общее число способов
будет равно
Здесь в каждой паре соседних дробей в числителе и знаменателе есть общие множители, поэтому большая часть сомножителей сокращаются.
Пример 1.12. Какова вероятность выиграть три партии из шести, две свести вничью и одну проиграть у равносильного шахматиста.
Решение. Пусть – выигрыш партии одним из игроков,
– партия завершилась вничью,
– проигрыш партии одним из игроков. Теперь
,
,
.
1.4.3. Наивероятнейшее число появлений события в схеме Бернулли
По формуле Бернулли, , где
,
найдем отношение
. Если
, то
;
.
Значит существует – наивероятнейшее число появлений события А. Рассмотрим
второе неравенство
,
.
1)
Если – целое число, то пусть
и тогда
,
таким образом , т.е.
два наивероятнейших числа появлений событияА
в испытаниях.
2)
Если – нецелое число, то обозначим через
– наименьшее целое число большее
, т.е. в этом случае
определяется как решение неравенств
или
.
1.4.4. Предельные теоремы в схеме Бернулли
По формуле Бернулли (1.14), в том случае когда число испытаний очень большое, а вероятность появления или непоявления события А мала, ничего посчитать практически невозможно. В этом случае перемножаются очень большие числа и очень маленькие и за счет ошибок округления возникают большие погрешности. В данной ситуации используются приближенные формулы.
Теорема 1.3. (Пуассона)
Если при так, что
, тогда
(1.15)
Доказательство. Обозначим , и по формуле Бернулли
.
справедлива приближенная формула Пуассона
Пример 1.13. Пекарня выпекает булочки с изюмом, среднее число изюминок в булочке равно 5. Что вероятнее: купить булочку с 4 или с 6 изюминками.
Решение. По формуле Пуассона (1.15) находим
,
,
.
Теорема 1.4 (локальная теорема Лапласа)
– локальная функция Лапласа.
Доказательство. Из условия находим
(*),
(**).
Из (*), (**) .
Далее используем формулу Стирлинга , где
, таким образом
,
,
.
Подставляя в формулу Бернулли, получаем
где , причем
.
Обозначим и вычислим логарифм
.
Þ .
Рассмотрим первый множитель
Таким образом
.
При , справедлива локальная формула Муавра-Лапласа
(1.16)
где.
Теорема 1.5 (интегральная теорема Лапласа)
При :
,
где – интегральная функция Лапласа.
Доказательство.
,
здесь Sn – интегральная сумма для функции
. Переходя к пределу при
, получим нужный результат.
Если , то справедлива интегральная формула Лапласа
, (1.17)
где .
Пример 1.14. Вероятность появления события А в одном испытании равна p = 0,7. Найти вероятность того, что в 100 независимых испытаниях событие А произойдет от 60 до 90раз.
Решение. Решим поставленную задачу приближенным способом с помощью интегральной теоремы Лапласа:
,
где .
Находим:
.
Таблица значений интегральной функции Лапласа Ф(x)
для положительных x приведена в приложении 2. Причем функция Ф(x)
– нечетная, т.е. .
Для всех значений x > 4 принимают . В
нашем случае:
.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.