Метод последовательного исключения неизвестных. Метод Зейделя. Программа оценки загруженности преподавателей

ВАРИАНТЫ ЗАДАЧ ДЛЯ ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЫ 3

N 1

Дана система из n-линейных уравнений

.

Разработать программу решения этой системы следующими методами: последовательного исключения неизвестных, простых итераций и методом Зейделя. Предполагается, что метод  решения выбирается пользователем.

Метод последовательного исключения неизвестных.  Процедура решает неоднородную систему n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными:

a₁₁ x₁+a₁₂ x₂+ . . .+a_1n x_n=a_1n+1

a₂₁ x₁+a₂₂ x₂+ . . .+a_2n x_n=a_2n+1

.               .               .               .

a_n1 x₁+a_n2 x₂+ . . .+a_nn x_n=a_nn+1

Вначале находим отличный от нуля коэффициент при x₁. Соответствующее уравнение переставляем с первым (если это необходимо). Получаем систему с a₁₁ отличным от нуля. Разделив коэффициенты этого уравнения на a₁₁, получим:

x₁+b₁₂ x₂+ . . .+b_1n x_n=b_1n+1

При помощи этого уравнения исключаем x₁ из исходной системы:

a⁽¹⁾₂₂ x₂+a⁽¹⁾₂₃ x₃+ . . .+a⁽¹⁾_2n x_n=a⁽¹⁾_2n+1

.               .               .               .

a⁽¹⁾_n2 x₂+a⁽¹⁾_n3 x₃+ . . .+a⁽¹⁾_nn x_n=a⁽¹⁾_nn+1

где

a⁽¹⁾_{i j}=a_{i j}-a_{i 1}b_{1 j}, i,j= 2...n

Полученная система содержит n-1 уравнение. Применяем описанную выше процедуру к этой системе. Операции повторяем требуемое число раз, пока не приведем систему к треугольному виду:

x₁+с₁₂ x₂+ . . .+с_1n x_n=с_1n+1

c₂₂ x₂+ . . .+c_2n x_n=c_2n+1

.               .               .               .

c_nn x_n=c_nn+1

Теперь легко определить x_n,x_n-1, . . ., x₁. Если det(A)=0, то исходная система не имеет решений и процедура выдает S=0 иначе S=1 и решения находятся в массиве X.

Метод простых итераций заключается в итерационном вычислении значений по формуле:

, до тех пор пока

где j- номер итерации, e – заданная погрешность вычислений. Итерационный процесс сходится, если величина модуля каждого диагонального элемента матрицы A больше суммы модулей остальных элементов. Начальные значения вектора X задаются пользователем.

Метод Зейделя подобен методу простых итераций, однако, уточненные значения сразу подставляются в последующие уравнения. Формула имеет вид:

 .

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

N 2

Разработать программу. Задана последовательность чисел, по требованию пользователя выполнить одно из следующих заданий:

a)  найти разницу между средним арифметическим и средним геометрическим;

b)  найти самую длинную подпоследовательность, упорядоченную по возрастанию;

c)  поменять местами четные и нечетные (по порядку) элементы;

d)  определить среднее арифметическое, отбросив предварительно минимальный и максимальный элементы.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

N 3

Каждый год статистический центр региона оценивает загруженность профессорско-преподавательского состава всех подчиненных ему вузов. Эта оценка базируется на отчетах, представляемых преподавателями и содержащих данные о среднем количестве часов в неделю, отработанных ими в течение года. В результате этой оценки составляется таблица, в которой каждый преподаватель занимает определенное место, и определяется общее место вуза среди других учебных заведений.

Степень загруженности преподавателей определяется следующим образом:

e)  преподаватель, отработавший более 55 часов в неделю, считается очень загруженным;

f)  преподаватель, отработавший от 35 до 55 часов в неделю (включительно), считается загруженным удовлетворительно;

g)  преподаватель, отработавший менее 35 часов в неделю, считается слабо загруженным.

Для определения загруженности каждого вуза сначала вычисляется средняя загруженность ее преподавательского состава, которая затем сравнивается с нормами, установленными правилами (а-с).

Разработать программу оценки загруженности преподавателей. Отчет выдавать как для одного учебного заведения, так и для всех.

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

N 4

Разработать программу расчета основных статистических характеристик реализации случайной величины:  Требуется найти такие характеристики, как начальный момент k-того порядка, центральный момент k-того порядка, определить численно функцию плотности и распределения вероятностей на j-ых интервалах. Расчет характеристик осуществлять по выбору пользователя.

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

N 5

Разработать программу сглаживания данных по методу линейного сглаживания по трем точкам и по пяти точкам, методом нелинейного сглаживания по семи точкам. Метод выбирает пользователь.

Линейное сглаживание по трем точкам реализуется с помощью следующих