Моделирование. Абстракция. Теоретические или математические модели. Функциональность (определенность)

•  Моделирование – замещение объекта моделью с целью получения информации о важнейших свойствах объекта.

•  Модель – представление объекта в некоторой форме, отличной от реального существования.

•  Модель может быть точной копией объекта или отображать некоторые характерные свойства объекта в абстрактном виде.

•  Абстракция содержит в себе существенные черты поведения объекта, но не обязательно в той же форме и столь детально, как в объекте.

Группы моделей

•  Физические или натурные модели

•  Теоретические или математические модели

Математическая модель – совокупность математических объектов и отношений, которые отображают объекты и отношения, существующие в некоторой области реального мира (предметной области).

Система задается парой множеств U, Y и отношением U´Y, где U – множество входов, Y- множество выходов.

U={u(t): TàU0}, Y={y(t): TàY0}

Свойства

•  Функциональность (определенность): каждой входной функции u(t) соответствует единственная выходная функция y(t)

•  Причинность: настоящее не зависит от будущего при заданном прошлом, т.е.

u1(s)=u2(s), s<t Þ y1(t)=y2(t)

Числовые величины

•  Координаты системы – величины, знание которых и входного воздействия позволяет предсказать поведение модели в будущем.   

•  Параметры системы – числовые величины, которые не являются координатами модели.

Классификация ММ

•  Функциональные и структурные.

•  Теоретические и формальные.

•  Статические и динамические.

•  Дискретные и непрерывные.

•  Детерминированные и недетерминированные.

•  Линейные и нелинейные.

•  Модели с сосредоточенными и распределенными параметрами.

•  Функциональные модели отображают процессы функционирования системы, имеет форму системы уравнений.

•  Структурные модели отражают структурные свойства объекта, имеют форму матриц, графов, списков векторов и выражают взаимное расположение элементов в пространстве.

•  Теоретические модели получают на основе изучения физических закономерностей.

•  Формальные модели получают на основе проявления свойств моделируемого объекта во внешней среде. 

•  Модель называется статической, если значение ее выхода y(t) в момент времени t определяется только значением входа u(t) в тот же момент времени, т.е. y(t)=S [u(t)].

•  Модель называется динамической, если значение ее выхода y(t) в момент времени t зависит от всего прошлого входного процесса u(t), т.е. y(t)=S [u(s), s £ t ].

Модель называется дискретной или непрерывной по входам, выходам и времени, если дискретным или непрерывным являются множества входов, выходов и моментов времени соответственно.

Пример 3: T={0, 1, 2, 3, 4, 5, …}, T={x: x>0}

Пример 4:  y(k+2)+a1y(k+1)+a0y(k)=u(k)

Детерминированной называется модель значение выхода, которой однозначно определяется значением входного сигнала.

Причины возникновения неопределенностей:

•    погрешности и помехи измерений;

•    неточность математической модели;

•    неполнота информации о параметрах. 

Линейными называются модели, в которых связь входа и выхода подчиняется линейному закону

Моделью с сосредоточенными параметрами называется система, множество входов которой является счетным.

Способы использования ММ

•  Аналитическое исследование

•  Качественное исследование

•  Исследование с помощью численных методов

•  Имитационное моделирование

Этапы имитационного моделирования

•  Определение системы

•  Построение концептуальной модели

•  Алгоритмизация модели

•  Оценка адекватности модели

•  Планирование экспериментов

•  Экспериментирование

•  Интерпретация результатов

•  Документирование

Вероятность случайного события - это мера того, насколько велика возможность его возникновения.

Вероятность изменяется от 0 (вероятность невозможного события) до 1 (вероятность достоверного события).

Случайная величина является более обобщенным понятием случайного события.

Случайные величины могут быть дискретными или непрерывными.

Случайная величина X называется дискретной, если она может принимать дискретное множество значений x1, x2,…, xn.

Случайная величина называется непрерывной, если она может принимать любое значение из некоторого интервала (a, b).

Непрерывная случайная величина характери-зуется функцией распределения F(x) и плотностью вероятности f(x)

Случайные процессы

Оп. 1: Отображение F, сопоставляющее каждому элементу tÎT одну из случайных величин Xt, называется случайной функцией на T. Сама случайная величина называется Xt сечением случайной функции