Использование фурье-преобразования в системах оптической обработки информации. Сведения из теории

 Лабораторная работа

 «ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ФУРЬЕ-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В СИСТЕМАХ ОПТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ ИНФОРМАЦИИ А»

Цель работы: Знакомство с оптическим фурье-преобразованием и пространственной фильтрацией фурье-спектра изображения.

Объекты исследования:  Экспериментальная установка, осуществляющая фурье-преобразование волнового поля объекта и пространственную фильтрацию его фурье-спектра. Штриховая мира, используемая в установке в качестве объекта.

Задачи, решаемые в работе: 

1. Ознакомиться с установкой осуществляющей оптическое фурье-преобразование по схеме 4F.  

2.  Ознакомиться с влиянием пространственной фильтрации фурье-спектра штриховой миры на качество её изображения.

3. Измерить распределение максимумов интенсивности фурье-спектра штриховой миры.

4. Рассчитать распределение максимумов интенсивности фурье-спектра штриховой миры. Сравнить расчётные и измеренные значения.

Сведения из теории

Любая световая волна, распространяющаяся в свободном пространстве, может быть представлена в виде суперпозиции плоских волн. Математически это выражается в том, что комплексная амплитуда монохроматической световой волны , где -радиус-вектор точки пространства, представляется в виде суперпозиции комплексных амплитуд плоских волн

,                    (1)

где   комплексная амплитуда плоской волны, -волновой вектор плоской волны, -волновое число, -длина волны света, интегрирование выполняется по сфере радиуса . 

В выражение (1) входит коэффициент с которым разные плоские компоненты входят в данную суперпозицию. Он определяется следующим выражением

.                  (2)

Математически выражения (1) и (2) представляют собой обратное и прямое преобразования Фурье, соответственно. Функция  называется преобразованием Фурье или фурье-образом (иначе спектром Фурье или частотным спектром) комплексной функции . Таким образом, представление световой волны в виде суперпозиции плоских волн эквивалентно нахождению фурье-образа комплексной амплитуды волны .

В оптике преобразование Фурье осуществляется с помощью линзы. Волновое поле в задней фокальной плоскости положительной линзы представляет собой фурье-образ волнового поля в её передней фокальной плоскости. При установке в передней фокальной плоскости линзы транспаранта с амплитудным пропусканием  и освещении транспаранта плоской волной, падающей по нормали, в задней фокальной плоскости линзы возникает фурье-образ транспаранта

,           (3)

где -длина волны света, -фокусное расстояние линзы, -координаты в фокальной плоскости линзы. Аргументы ,  фурье-образа  имеют физический смысл пространственных частот , амплитудного пропускания транспаранта  по координатам ,, соответственно. Согласно (3) амплитуда и фаза световой волны в точке фокальной плоскости линзы с координатами  равна амплитуде и фазе спектра амплитудного пропускания транспаранта на пространственных частотах , . Из (3) также следует, что в точку фокальной плоскости линзы с координатами  фокусируется плоская волна из суперпозиции плоских волн (1), с компонентами   ,  волнового вектора .  Если транспарант сместить из передней фокальной плоскости линзы, то это никак не повлияет на интенсивность волнового поля в задней фокальной плоскости линзы, изменится только его фаза, которая будет отличаться от фазы фурье-образа.

Если за первой линзой установить вторую линзу, так чтобы её передняя фокальная плоскость совпадала с задней фокальной плоскостью первой линзы, то она выполнит второе фурье-преобразование. Два последовательных фурье-преобразования дают исходную функцию, с точностью до изменения знаков координат по осям   на обратные. В результате в задней фокальной плоскости второй линзы возникнет перевёрнутое на 180 градусов вокруг осей  изображение объекта, установленного в передней фокальной плоскости первой линзы.

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ УСТАНОВКА

Экспериментальная установка, осуществляющая оптическое фурье-преобразование и пространственную фильтрацию фурье-спектра штриховой миры имеет cхему представленнyю на рис. 1.

Рис. 1

Установка содержит следующие узлы, располагаемые в соответствии со схемой на рис.1:

1. Полупроводниковый лазер ПЛ.

2. Штриховую миру М

3. Линзу Л₁

4. Линзу Л₂

5. Зеркало З

6. Экран Э

7. Лупу на рейтере ЛП₁  

8. Лупу ЛП₂

9. Диафрагму Д₁ с круглым отверстие диаметром 0,5 мм

11. Фотодиод ФД-24К

12. Милливольтметр