Принцип Эджворта-Парето в терминах нечеткой функции выбора. Модель нечеткого многокритериального выбора. Аксиомы разумного выбора

самым, отказ от аксиомы 2 в данном примере приводит к нарушению принципа Эджворта-Парето в том смысле, который подчеркнут в Замечании 2. 

7.  ОЦЕНКИ СВЕРХУ ДЛЯ НЕИЗВЕСТНОГО МНОЖЕСТВА ВЫБИРАЕМЫХ ВАРИАНТОВ

Множество выбираемых из Y вариантов является решением задачи выбора, и потому в прикладных задачах подлежит нахождению. В равенстве (2) указана определенная оценка сверху для неизвестного множества выбираемых вариантов. А именно, при выполнении аксиом разумного выбора наилучший (в общем случае − нечеткий) выбор следует осуществлять только в пределах множества Парето. Если на множество Y накладывать определенные дополнительные условия, то, как показывают нижеследующие результаты, можно сформулировать ряд других полезных с точки зрения приложений оценок сверху для неизвестного множества выбираемых вариантов в терминах решений различного рода скалярных параметрических задач оптимизации.

       Далее будем считать, что

Y_i ⊂ R , i = 1,2,...,m, _Y^ˆ ⊂ R^m , suppY ⊂ R^m и каждое отношение f_i совпадает с сужением отношения «строго больше»  >  на  числовое множество Y_i . Тем самым, каждый возможный вариант y ∈suppY является некоторым m-мерным числовым вектором (точкой). Нетрудно понять, что по определению 3 имеет место равенство P(Y) = P(suppY).

Следствие 1. Пусть множество suppY выпукло. Для любой нечеткой функции выбора, подчиненной аксиоме 1^// и аксиоме Парето, справедливо равенство

                                                     λ_Y (y) = 0    ∀y ∈suppY \Y_≥ ,                                      (4)

где Y_≥ представляет собой объединение по всем векторам μ= (μ₁,μ₂,...,μ_m ) множеств

m

точек максимума линейной функции ∑μ_i y_i на множестве suppY , причем 

i=1

m

                                                      μ₁,μ₂,...,μ_m ≥0, ∑μ_i = 1.                                            (5)

i=1

Доказательство. Согласно известной теореме Гурвича (см., например, теорему 2.2.2 [9]) о том, что в случае выпуклости множества возможных векторов любой паретооптимальный вектор может быть получен в результате максимизации линейной функции

m

∑μ_i y_i на указанном множестве при некотором μ вида (5), имеем включение P(Y ) ⊂ Y_≥ .

i=1

Тогда {suppY \Y_≥}⊂ {suppY \ P(Y)}, благодаря чему из (2) сразу получаем (4). Следствие

1 доказано.

Следствие 1 в силу выпуклости функций ln y_i (при положительных y_i ) и эквивалентности

                                                    m                             m                                            m                           m

 yi ⇔ yiμi i=1                 i=1              i=1              i=1

влечет

 Следствие 2. Пусть все векторы выпуклого множества suppY имеют положительные компоненты. Тогда для любой нечеткой функции выбора, удовлетворяющей аксиоме 1^// и аксиоме Парето, имеет место равенство

                                                                      λ_Y (y) = 0     ∀y ∈suppY \Y_Π ,

где Y_Π есть объединение по всем векторам μ, удовлетворяющим  (5), множеств точек

m

максимума функции ∏ y_i^μi на множестве suppY .

i=1

Следствие 3. Пусть множество suppY выпукло и замкнуто. Для любой нечеткой функции выбора, подчиненной аксиоме 1^// и аксиоме Парето, справедливо равенство

                                                         λ_Y (y) = 0 ∀y ∈suppY \Y_>,                                     (6) 

где Y_> означает замыкание объединения по всем векторам μ= (μ₁,μ₂,...,μ_m ) множеств

m

точек максимума линейной функции ∑μ_i y_i на множестве suppY , причем 

i=1

m

                                                           μ₁,μ₂,...μ_m > 0, ∑μ_i = 1.                                       (7)

i=1

Доказательство. Применим теорему 3.1.8, доказанную автором в [9], взяв в ней в качестве X выпуклое замкнутое множество suppY , а вместо векторной функции  f  линейную векторную функцию (y₁, y₂,..., y_m ) . Все условия указанной теоремы выполнены. По-

этому P(Y ) ⊂ Y_> , а значит {suppY \Y_>}⊂ {suppY \ P(Y)}. Тогда (6) немедленно следует из

(2). 

Следствие 4. Предположим, что X ⊂ Rⁿ полиэдрально, т.е. является множеством решений некоторой конечной системы линейных неравенств. Кроме того, пусть все компоненты f₁, f₂,..., f_m векторной  f  функции  полиэдрально вогнуты на Rⁿ . Тогда для любой нечеткой функции выбора, подчиненной аксиоме 1^// и аксиоме Парето, справедливо равенство

                                                                                λ_Y (y) = 0   ∀y ∉Y_> ,

где Y_> есть объединение по всем векторам μ вида (7) множеств точек максимума ли-

m

нейной функции ∑μ_i y_i на множестве Y = f (X ) .

i=1

Доказательство. Согласно доказанной автором в [9] теореме 2.2.8 в условиях следствия 4 множества Парето-оптимальных P(Y) и собственно эффективных [9] векторов G(Y) совпадают. Поэтому с использованием теоремы Джоффриона (см. теорему 2.2.4 [9]) можно записать P(Y ) = G(Y ) = Y_>, что из (2) немедленно влечет требуемый результат. 

Следствие 5. Пусть множество suppY состоит из положительных векторов. Тогда для любой нечеткой функции выбора, удовлетворяющей аксиоме 1^// и аксиоме Парето, справедливо равенство

λY (y) = 0 ∀y ∉Ymaxmin ,

где Y_maxmin есть объединение по всем векторам μ, удовлетворяющим