Функции двух и многих переменных. Основные понятия. Объем цилиндрического тела, определение двойного интеграла

Министерство РФ по связи и информатизации

Сибирский Государственный Университет Телекоммуникаций и Информатики

Хабаровский Филиал

Функции нескольких переменных, кратные и криволинейные интегралы (конспект лекций)

Хабаровск 2003г.

УДК  

А.Н.: Функции нескольких переменных, кратные и криволинейные интегралы, теория поля (конспект лекций).

Конспект лекций предназначен для студентов факультета заочного обучения и рассматривает все вопросы по темам: функции нескольких переменных, кратные и криволинейные интегралы, теория поля. Приведено подробное решение примеров по всем темам. Кроме того, даны примеры для самостоятельного решения.

Утверждено на заседании Совета

факультета дневного отделения от 5.03.2003г

3

1  ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

1.1  Функции двух и многих переменных. Основные понятия

Определение. Величина  называется функцией переменных величин  и  на множестве , если каждой точке этого множества соответствует одно или несколько определенных значений  величины :

Множество точек  называется областью определения функции .

Аналогично можно определить функцию многих независимых переменных:

Определение. Число  называется пределом функции  при , если для всех значений  и  достаточно мало отличающихся соответственно от чисел  и , соответствующие значения функции , как угодно мало отличаются от числа .

Записывают:

Определение. Функция  называется непрерывной в точке , если она определена в этой точке и .

1.2  Производные и дифференциалы

Рассмотрим функцию двух переменных . Будем считать аргумент  постоянным. Аргументу  дадим приращение . Тогда  получит приращение: .

Это частное приращение  по , которое обозначается:

4

Аналогично определяется частное приращение  по :

Определение. Частной производной функции  по  называется предел отношения частного приращения  к  при :

Аналогично определяется частная производная  по :

Частные производные можно обозначить и так:

Так как частная производная является обыкновенной производной от данной функции, взятой в предположении, что изменяется только переменная, по которой производится дифференцирование, то отыскание частных производных элементарных функций осуществляется по известным правилам дифференцирования функций одной переменной.

Примеры. Найти производные функций:

а) ;

б)  .

Решение: а) Найдем . При этом  считаем постоянной величиной:

Найдем . При этом  считаем постоянной величиной:

5

б) ; При дифференцировании по  функция является степенной, а при дифференцировании по  - показательной. Находим:

; .

Определение. Частным дифференциалом по  функции  называется главная часть частного приращения функции :

Аналогично частный дифференциал функции  по :

Рассмотрим функцию  и дадим приращение аргументу  и аргументу . Получим полное приращение функции :

Определение. Главная часть полного приращения функции  называется полным дифференциалом этой функции:

Определение. Выражение  является полным дифференциалом, если существует такая функция , полный дифференциал которой равен данному выражению:

Теорема: Для того, чтобы выражение  было полным дифференциалом, необходимо и достаточно соблюдение тождества:

Пусть задана дифференцируемая функция:

6

, при этом , .

Тогда , то есть  - сложная функция от  и . Имеют место формулы:

Пример. Найти ,  функции:

Решение. Положим ; , значит . Получим:

Допустим, что функция  имеет частные производные .

Эти производные в свою очередь являются функциями независимых переменных  и . Частные производные этих функций называются частными производными второго порядка от функции  и обозначаются так:

Производные ,  называются смешанными. Если смешанные производные непрерывны, то они равны между собой:

7

Пример. Найти вторые производные функции:

Решение.

Примеры для самостоятельного решения.

1.  Найти частные производные функций:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

2.  Найти полный дифференциал функции: .

3.  Найти вторые производные функции: .

2  ДВОЙНЫЕ И ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

2.1 Объем цилиндрического тела, определение двойного интеграла

Определение. Цилиндрическим телом называется тело, ограниченное плоскостью , поверхностью , с которой любая прямая, параллельная оси , пересекается не более, чем в одной точке, и цилиндрической поверхностью, образующие которой параллельны оси  (рисунок 2.1).

8

Рисунок 2.1

Основание цилиндрического тела – область  в плоскости . Поставим задачу: найти объем цилиндрического тела. Разобьем основание цилиндрического тела – область  – на  областей произвольной формы, площади которых . Через границу каждой частичной области проведем цилиндрическую поверхность с образующей, параллельной оси . Цилиндрическое тело разобьется на  частичных цилиндрических тел. Выберем на каждой частичной области  по точке  и вычислим значения функции  в этих точках . Заменим частичные цилиндрические тела прямыми цилиндрами с высотами . Тогда объем каждого частичного цилиндрического тела будет приближенно равен объему прямого цилиндра:

Объем всего цилиндрического тела:

Это равенство тем точнее, чем больше , тогда:

 называется -й интегральной суммой для функции  в области .

9

Определение. Предел, к которому стремится -я интегральная сумма при  называется двойным интегралом от функции  по области .

Этот предел не зависит от способа разбиения области  на частичные области и от выбора точек . В частности, если разбить область  прямыми, параллельными осям