Пример расчета РЦФ. Расчёт нормированных "цифровых" граничных частот. Расчёт коэффициента γбилинейного преобразования

ПРИМЕР РАСЧЕТА РЦФ

Проектируется РЦФ нижних частот на основе аналогово-цифровой трансформации по заданным требованиям к неравномерности АЧХ           

ε_п = 0,015 в полосе пропускания с частотами от 0 до f_п = 4,8 кГц, отклонению от нуля ε_п = 0,01 в полосе задерживания (от граничной частоты f_з = = 9,6 кГц до  f  = ∞). Частота дискретизации f_д = 48 кГц. 

Коэффициенты фильтра должны быть квантованы до m = 24 разрядов (предполагается, что фильтр будет реализован (после испытания на ПЭВМ) на базе микропроцессора DSP-56000). Разрядность входного сигнала ЦФ должна быть 16 (что соответствует использованию 16-ти разрядного АЦП на входе сигнального микропроцессора DSP-56000).

Определить порядок фильтра и системную функцию H(z); рассчитать и построить графики амплитудно-частотной (АЧХ), фазо-частотной (ФЧХ) и импульсной (ИХ) характеристик РЦФ.

Решение.1. Расчёт нормированных "цифровых" граничных частот:    w_п = f_п / f_д = 4,8 /48 = 0,1 и w_з =  f_з / f_д = 9,6 /48 = 0,2.

2. Расчёт значений коэффициентов затухания: ^α_max = −20lg[(1−ε_п)] = −20lg[1− 0,015] ≈ 0,1313 дБ;  ^α_min = −20lgε_з = −20lg0,01= 40 дБ.

3. Расчёт коэффициента γбилинейного преобразования: γ= ctg(πw_п) = ctg(π⋅ 0,1) = 3,077684.

4. Определение граничной "аналоговой" частоты Ω_з полосы задерживания АФ-прототипа:

Ω_з = γ⋅ tg(πw_з ) = 3,077684⋅ tg(π⋅ 0,2) = 2,236.

5. Определение передаточной функции H(p) аналогового нормированного фильтра-прототипа нижних частот требуемого типа. а) Выбираем фильтр Чебышева типа Т с равноволновыми колебаниями АЧХ в полосе пропускания и равномерным затуханием в полосе задерживания. б) Расчёт модуля коэффициента отражения |р|% по заданной величине αmax: |р| % =100 1 − е−0,23026 ⋅0,1313 ≈ 17,26%.

При  |р| % ≈ 17,26% выбираем (см. табл. 1) ближайший меньший модуль коэффициента отражения, т. е. |р| % = 15%. Отметим, что величине |р|% = 15% соответствует ^α_max= 0,0988 дБ, т. е. неравномерность затухания в полосе пропускания рассчитываемого фильтра будет несколько лучше, чем требуется. Такой запас необходим, поскольку представление коэффициентов ЦФ с помощью конечного числа разрядов приводит к изменению характеристики затухания. в) Определение вспомогательного параметра L по общей номограмме

(рис. 12).

Для величин |р|% = 15% (^α_max= 0,0988 дБ) и ^α_min = 40 дБ вспомогательный параметр L ≈ 0,04. 

 г) Определение порядка N передаточной функции АФ-прототипа по номограммам (рис. 13, а и б) для фильтра Чебышева типа Т. Для величин  L ≈ 0,04 и Ω_з = 2,236 из номограмм порядок 4< N < 5. Принимаем N = 5.  д) Запись передаточной функции H(p) в общем виде  (см. (22)):

2 ² − 2ai p+a_i² +b_i²)], N = 5. H(p) =1/[С(p−a0)∏ (p i=1

е) Определение численных значений коэффициентов передаточной

функции H(p) из таблиц с учётом величин N и |р|%. 

Для Т05 (фильтр Чебышева типа Т 5-го порядка) и |р|% = 15% (см. табл. 2) (с округлением шестого знака после запятой):

С = 2,427464; - а₀ = 0,540249; - а₁ = 0,437071;  ±b₁ = 0,668079;  - а₂ = 0,166946; ±b₂ = 1,080975. ж) Запись передаточной функции H(p) аналогового нормированного ФНЧ с численными значениями коэффициентов.

Передаточная функция H(p) аналогового нормированного ФНЧ 

H×

××

× .

6. Расчёт и построение АЧХ H(Ω) и коэффициента затухания α(Ω)

АФ-прототипа.

Расчёт и построение АЧХ H(Ω) и коэффициента затухания α(Ω) (после замены р = jΩи вычисления модуля H(jΩ)) АФ-прототипа выполняется на ПЭВМ в К (41…81) точках с шагом по частоте DF = (0,05…0,1). Пользователь (после запуска программы DRF.ехе и щелчка левой клавишей мыши на кнопке "Новый" на полосе инструментов, см. рис.14, вверху) последовательно вводит значения исходных данных: C; γ; N; а0; аi; b_i и щёлкает на кнопке "Запомнить" в окне "Параметры РЦФ" (рис. 14, а).При щелчке мышью на соответствующей кнопке ( "АЧХА" и "ЛАЧХА") на экран дисплея выводятся графики функций H(Ω) и α(Ω) (рис. 14, б и г). Если значение коэффициента α(Ω) равно бесконечности (значение АЧХ равно нулю), то принимается значение α(Ω) = 200 дБ. 

                                                                           Рис 15 Системная функция H(z) цифрового фильтра нижних частот определяется с помощью подстановки  p =γ(1− z⁻¹) /(1 + z⁻¹) = 3,077684 (1 − z⁻¹) /(1 + z⁻¹) в выражение H(p): 

                      H(z) =0,411953γ1+z−−11 1 ⋅  1− z−12 + 0,8741421 ⋅γ1− z−−11 + 0,637361 ×

                                                            1−z +0,540249γ1+ z−1               1+ z                                                                   

                                               ×                                      1                                     .

γ1 − z−−1 2 + 0,333948 ⋅γ1 − z−−11 + 1,196378 

                                                             1 + z 1                           1 + z                     

H×

×11,696303 −16,551522(1+z−1z)−21+ 9,640731z−2 = 0,0000761− 0,1701349+z−1 z−1× ×          1+ 2z−−11++0z.579630−2 z−2 ×1−1,4151071+ 2zz−−11++0z,824255−2          z−2 . 1−1,380452z

8. Контрольная проверка устойчивости рассчитанного РЦФ.

Полюсы функции H(z) устойчивого РЦФ должны располагаться внутри