Шаг интегрирования и интервал интегрирования для расчета временных характеристик цепи. Решение кубического уравнения

Пример 4.4. Найти шаг интегрирования и интервал интегрирования для расчета временных характеристик цепи, приведенной на рисунке 2.1.

Характеристическое уравнение цепи (знаменатель передаточной функции цепи) получено в примере 4.1 и имеет вид

Корни этого уравнения найдем по формулам Кардана (Приложение А).

;

По формулам (4.24) и (4.25) находим:

С учетом масштабного коэффициента по времени

Интервал интегрирования:

Приложение А

Решение кубического уравнения

Решение кубического уравнения можно осуществить по формулам Кордана [4].

Пусть кубическое уравнение (уравнение 3-й степени) имеет вид:

Делаем в этом уравнении замену переменных  ()/

Получим так называемое приведенное уравнение

где ;

.

Найдем дискриминант

Если , то решение имеет один действительный корень и 2 комплексно-сопряженных. Если , то решение имеет три действительных корня. Если , то решение имеет один действительный корень и 1 двукратный или трехкратный корень.

Пусть , тогда

$

, где ;

.

Посредством замены   из  получаем решение  данного кубического уравнения.

В случае  кубическое уравнение имеет три действительных корня.

Положим , .

Тогда решением приведенного уравнения  будут

;

;

, от которых заменой  снова можно перейти к решениям заданного кубического уравнения.

Примечание: Для физически реализуемых цепей действительные корни или вещественная часть комплексно-сопряженных корней должна иметь отрицательный знак.

Приложение В

Список контрольных вопросов для тестирования по дисциплине «Методы решения технических задач на ЭВМ»

1) Что называется порядком матрицы ?

2) Какая матрица называется вектором-столбцом, вектором-строкой, квадратной ?

3) Что называется следом матрицы ?

4) Какая матрица является транспонированной ?

5) Справедливо ли равенство  ?

6) Чему равно произведение  (где -обратная матрица) ?

7) Как рассчитывается матрица , обратная диагональной матрице  ?

8) С помощью каких данных можно описать свойства анализируемой цепи ?

9) Какие данные цепи называются топологическими данными; компонентными данными ?

10) Как нумеруются узлы и ветви схемы ?

11) Какова иерархия нумерации ветвей схемы анализируемой цепи ?

12) Как выбирается положительное направление токов ветвей ?

13) Что называется графом цепи ?

14) Что такое дерево графа ?

15) Какие ветви графа следует включать в ребра, а какие в хорды ? Сколько ребер и хорд имеет граф ?

16) Как строятся главные сечения графа ?

17) Как формируется матрица главных сечений цепи  ? Из каких чисел состоит эта матрица ?

18) Каков алгоритм формирования структурной матрицы ?

19) Как записать топологическое уравнение токов ребер и напряжений хорд с помощью матрицы главных сечений ?

20) Как записать компонентные уравнения цепи ?

21) Для какой цели осуществляется масштабирование параметров элементов цепи ?

22) Как рассчитать масштабный коэффициент цепи ?

23) Сколько масштабных коэффициентов необходимо рассчитать для масштабирования всех параметров цепи ?

24) Сколькою независимыми масштабными коэффициентами можно задаваться ?

25) Чему равно произведение структурной матрицы  на вектор токов ветвей  ?

26) Поясните суть метода переменных состояния.

27) Какова структура уравнений математической модели ЛЭЦ ? Из скольких уравнений состоит математическая модель цепи ? Как называются эти уравнения ?

28) Как записать матрицу главных сечений  через соответствующие подматрицы ?

29) Что называют вектором состояния , вектором независимых источников  ?

30) Чем определяется количество уравнений в матричном уравнении токов резисторов ?

31) Чем определяется количество строк и столбцов матричных коэффициентов  и  уравнения токов резисторов ?

32) Чем определяется количество строк и столбцов матричных коэффициентов  и  уравнения состояния ?

33) Как рассчитываются коэффициенты  и  уравнения выхода ?

34) Что называется передаточной функцией цепи  ?

35) Как записывается выражение для операторной передаточной функции цепи ?

36) Чем определяется порядок передаточной функции ?

37) Как выражается передаточная функция через коэффициенты уравнений математической модели ЛЭЦ ?

38) Что называется комплексным коэффициентом передачи цепи  ?

39) Какими характеристиками описываются частотные свойства цепи ?

40) Как по известной операторной передаточной функции цепи  рассчитать АЧХ и ФЧХ цепи ?

41) Как выбрать шкалу анализируемых частот для расчета АЧХ и ФЧХ ?

42) Как проверить соответствие полученных АЧХ и ФЧХ свойством анализируемой цепи ?

43) Какие характеристики цепи называют временными характеристиками ?

44) Какова связь между временными и частотными характеристиками ?

45) Как выбрать шаг интегрирования и интервал интегрирования при расчете временных характеристик ?

46) От чего зависит точность решения уравнения состояния при расчете временных характеристик ?

47) Чем определяется порядок формулы интегрирования ?

48) Как избежать числовой неустойчивости при расчете временных характеристик ?

Список литературы

1)  Калабеков Б.А., Лапидус В.Ю., Малафеев В.М.. «Методы автоматизированного расчета электронных схем в технике связи». Учебное пособие для ВУЗов. М.,: Радио и Связь,1990.

2)  Мельников Н.А. «Матричный метод анализа электрических цепей». М.,: Энергия, 1972.

3)  Бакалов В.П. «Введение в схемотехническое проектирование», Новосибирск, 1986.

4)  Справочник по высшей математике.