Информатика и выч. техника \ Математическая теория сигналов

Алгоритм вычисления коэффициентов. Компонентные уравнения для индуктивных и емкостных элементов, страница 2

(4.2)

есть комплексный коэффициент передачи на частоте .

В формуле (4.2) -зависимость модуля комплексного коэффициента передачи от частоты, называется амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ), а -зависимость от частоты фазового угла комплексного коэффициента передачи, называется фазочастотной характеристикой (ФЧХ) цепи.

Любая из приведенных выше характеристик, полностью отражает свойства цепи. Следовательно, любая характеристика может быть получена из другой с помощью преобразований.

Зависимость между характеристиками определяется следующими соотношениями:

(4.3)

т.е. комплексный коэффициент передачи может быть получен из передаточной функции путем замены оператора на .

Частотная и импульсная характеристики связаны между собой парой преобразований Фурье:

	-прямое преобразование Фурье;
	-обратное преобразование Фурье.

Наконец, импульсная и переходная характеристики связаны друг с другом соотношениями:

;

4.2 Расчет передаточной функции

В общем случае выражение передаточной функции имеет форму дроби, числитель и знаменатель которой являются полиномами, зависящими от оператора ( - комплексная частота).

(4.4)

Степень полинома знаменателя равна порядку анализируемой цепи, т.е. числу реактивных элементов в ней. В числителе ряд коэффициентов при старших степенях могут быть равны нулю и степень полинома может быть меньше степени .

Расчет передаточной функции согласно выражению (4.4) сводится к расчету коэффициентов полинома числителя и знаменателя . Для этого воспользуемся уравнениями состояния и выхода анализируемой цепи:

	(4.5)
	(4.6)

Отличия данных выражений от ранее приводимых (3.2) и (3.3) состоит лишь в том, что вместо вектора здесь используется скалярная величина .

Представим входящие в уравнение переменные их изображениями по Лапласу. Тогда получим:

	(4.7)
	(4.8)

Решим выражения (4.7) относительно . Группируя члены, содержащие , имеем:

, откуда:

Подставим это выражение в (4.8):

, откуда:

(4.9)

Данное выражение может быть использовано для построения алгоритма вычисления передаточной функции . Основная трудность вычисления этого выражения состоит в нахождении обратной матрицы . Рассмотрим метод вычисления такой матрицы, называемой методом Леверрье-Фадеева.

Дана квадратная матрица (этим условиям удовлетворяет матрица уравнения состояния реальной схемы) -го порядка. Все полученные в ходе вычислений матрицы будут также квадратными матрицами -го порядка. Примем и , проводим вычисления по следующей схеме:

(4.10)

Последнее выражение – тождество, которое можно использовать для проверки безошибочности проведенных вычислений.

В схеме вычислений в выражениях для использована операция нахождения следа матрицы, обозначенная символом (сумма элементов главной диагонали).

Через величины, значения которых рассчитываются в схеме Леверрье-Фаддеева можно найти характеристический полином анализируемой цепи:

и значение обратной матрицы , входящей в выражение (4.5) передаточной функции :

(4.11)

Пример 4.1. Рассчитаем передаточную функцию цепи, приведенной на рисунке 2.1.

Возьмём матрицу из уравнения состояния для данной схемы:

и выполним действия в соответствие с алгоритмом вычислений (3.10):

; ; ;

; ;

;

; ;

Равенство (4.10) выполняется. Это подтверждает правильность сделанных вычислений.

Пользуясь результатами вычислений находим необходимую для вычисления передаточной функции величину:

Положим, что входным источником является источник , источники и из схемы исключаем. Это приводит к исключению из матрицы соответствующих им столбцов, т.е. в матрице останется только первый столбец: